Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.5.22b) tr L2 = I2 = X21 + X22 +
(X1 - *2)2 '
(3.5.22с) tr X = J1 = X1 + X2 = lit + Z1 (0),
(3.5.22d) tr LX = J2 = X1X1 + X2X2 = I2t + J2 (0). Из (3.5.22d) получим
(3.5.23а) ~ (х2 + xl) = 2 (X1X1 + х2х2) = 2/2/ + 2J2 (0). Таким образом,
(3.5.23b) X21+ X22 = I/ + 2J2 (0) / + X21 (0) + X22 (0).
С помощью (3.5.22с) мы приходим к алгебраическому уравнению для Xi (t) или для X2(t) (Z равно либо х\, либо х2):
(3.5.23с) 2Z2 - 2J1 (I) Z+ J2i (t) = I2I2 + 2J2 (0) / + х2 (0) + х\ (0). I
3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 239
Мы не будем здесь заниматься более тщательным анализом его решения. Вместо этого покажем, что собственные значения оператора
(3.5.24) M (t, Q = X ((0) + (t- /0) L (I0)
совпадают с полюсами *,(/), і = 1, ..., N. Приводя матрицу
(3.5.24) к диагональному виду, получим расположения полюсов в каждый момент времени t. Рассмотрим
(3.5.25) К (0 = U~] (t) X (t) U (/),
где U(I0) = I. Так как А является антиэрмитовой матрицей, т. е. = {А*)т = — А, то матрица U(I), удовлетворяющая уравнению
(3.5.26а) ^L = AU,
является унитарной:
Ujr U = I.
Таким образом,
(3.5.26Ь) А-(и~1) = ^frU* = -U~lA,
и прямое вычисление приводит к
(3.5.27) ^ = U~\X + [X, A])U.
Из (3.5.17) следует
(3.5.28) -d-?- = U~lLU.
Продифференцируем это равенство еще раз по времени и воспользуемся соотношениями (3.5.26) и. Lt = [AL]. В результате получим
(3.5.29а) jS^ = 0-
Поэтому
(3.5.29b) K(I) = C1^(I-I0)C2,
где Ci, C2 — постоянные интегрирования. Из (3.5.25) и (3.5.28), учитывая равенство U(U) = I, мы получим
(3.5.29с) К (Q = U~l (t0) X (to) U (t0) = X (ia) = Cu (3.5.29d) (t0) = U~'(to) L (I0)U (t0) = L (to) = C2.
Таким образом,
(3.5.29e) K (і) = X (t0) + (і - t0) L (Z0) ^ M (t, /„). 240 3. Различные перспективы
Соотношение (3.5.25) позволяет выразить X(t) через K(t): (3.5.29f) X(t) = UM(t, t0) U-1.
Собственные значения матриц X(t) и M(t,t0) совпадают, так как
(3.5.30а) 0 = det (Я/ - X (/)) = det (U (Я/ - M (/, /0)) U~l). Матрица Xkj (t) имеет вид Xkj (і) = okjxk (t), поэтому
N
(3.5.30b) det (Я/ - X (/)) = П (Я - xk (/)).
k=\
Это доказывает, что собственные значения матрицы M(f, t0) совпадают с положениями полюсов, т. е. с xk(t). При этом, заметив, что
In det (Я/ — X (/)) ]> =x = J]
д
г = 1
можно представить многополюсное решение уравнения Бенджамина — Оно в виде
(3.5.31) и == і -J^-In det (/Я — Af (2/, 2Q)b=x-
-I-^r In det (11 + Af (2/, 2/0))|л^.
(Отметим, что в последней формуле мы изменили масштаб времени, чтобы полученное решение удовлетворяло уравнению Б—О, записанному в виде (3.5.1).) Итак, мы описали динамику полюсов в решении уравнения Б—О. Эти решения представляют взаимодействия солитонов, что наводит на мысль о возможности решения уравнения Б—О методом обратной задачи рассеяния. Ниже в этом разделе мы кратко обсудим некоторые результаты и опишем линейный аналог задачи рассеяния, связанный с уравнением Б—О.
Для уравнения КдФ (см. [36])
(3.5.32) ut + 6 иих + иххх = 0 конечнополюсное решение имеет вид
(3-5-33) «=-2 E J^hw-
;=і
Подстановка (3.5.33) в (3.5.32) дает
(3.5.34) Y
(х — Xi)3 »=1
4-12 J]
/=1 ІФІ 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 241
Используя разложение рациональных функций на простые дроби или просто положив X = Xi -j- є, є->0 и приравняв нулю члены порядка 0(1/е3), 0(1 /є2), мы получим
1V
(3.5.35а) Z J^rW
I=і /=/
и дополнительную связь на расположение полюсов
N
(3.5.35b) ? K^ = 0-
I=і 1
ІФ1
Следует отметить, что это решение уравнения КдФ соответствует рациональному решению, найденному в разд. 3.4.
Продифференцировав (3.3.35а), мы можем привести эту систему к гамильтоновой форме задачи N тел:
N
(3.5.36) ^ = -(12)2Z (^f
i=i 1 ІФІ
(см., например, [ПО]). Заменив рациональные функции эллиптическими, разложение (3.5.33) можно обобщить; при этом
N
(3.5.37а) Xj = —12 X & (X1-Xi),
/=і i=i
N
(3.5.37b) E (*/-*/) = О,
i=i
где 3і — эллиптическая функция Вейерштрасса. Вычислив производную по времени, мы получим гамильтонову систему
N
(3.5.38а) X1 = - (12)2 ? 3і' (X1 - Xi) (X1 - Xj)
'і=J
с гамильтонианом
.V
(3.5.38Ь) Я = -І- ? Xі, + E S ^2 (*< - */)•
Все предыдущие формулы для рациональных функций могут быть получены из соответствующих формул для эллиптических функций, если заменить Sa (х) на (т. е. устремить оба периода эллиптических функций к бесконечности. — Перев.). 242 3. Различные перспективы
Теперь мы кратко обсудим результаты о разложении по полюсам (см. [448]) для промежуточного уравнения, описывающего длинные гравитационные волны в стратифицированной жидкости конечной глубины [246], [301, 302]. Буквой б обозначим параметр, характеризующий отношение глубины жидкости к длине волны. Уравнение движения будем записывать в виде
(3.5.39а) щ + 2иих + (\+-\-)т(ихх) = 0,
где
со
(3.5.39b) T (Ux) = J [--cth ^lD- + sgn {х _ 4dt
-QO
Это уравнение можно также переписать в виде
