Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.3.71) P = 2Dx[(Dt + Dl)fH-fN+l-
- 3 (DlfN ¦ fn+i) (DJn • fn + \)] =
Преобразование Бэклунда в билинейной форме получится, если положить
(3.3.72а) DjN-fN+l = XfNfN+v
(3.3.72b) (Dt + 3XDx + Dl)fN-fN+l = 0;
при этом мы удовлетворим равенству (3.3.71) (новое солитонное решение содержит параметр ^). Уравнения (3.3.72) представляют собой билинейный вариант преобразования Бэклунда, полученного в разд. 3.1.
В качестве примера мы покажем, как вычислить односоли-тонное решение из вакуумного состояния. «Нулевому» солитон-ному решению отвечает fo = 1; при этом и = 0. Функция fi, как это следует из (3.3.72), удовлетворяет уравнениям
(3.3.73а) ^Jl = Xfl,
(3.3.73b) (dt + ЗХдх + д3х) Z1 = 0.
Решение системы (3.3.73) имеет вид
Z1 = +
(3.3.74) k2 4=klX-k\t + 4\% la-i.
Так как « = 2<3|іп/, то ясно, что
(3.3.75) Zi = (1+^)=^1 + ^1
(здесь f — g тогда и только тогда, когда f = eax+$g, где а и ? — константы, не зависящие от х). Два —-эквивалентных решения f, g приводят К одному и тому же решению и\ например, функция fl = е~(1/2> 111 эквивалентна Z0=I- 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 215
Легко проверить, что если мы возьмем fі вида (3.3.74), то преобразование Бэклунда приведет к решению
(3.3.76) U = - k2) (^+tW2 + 6-(1.+?)/2) + + (^ + ^)(^."?)/2 + ^(1.-?)/2),
где ^i = ktX ~ kjt T^fK Отметим, что
f2 = {kl-k2)e-^[x - (11?) Л - (Шї) ^1+^.+^2 + ^.+12+^,2
(обычное двухсолитонное решение), где еА" = (kx — k2)/(ki + k2)2, если фазовые постоянные выбраны подходящим образом, т. е.
Є ^ \k !+Il2Je •
В общем случае Л^-солитонное решение, удовлетворяющее преобразованию Бэклунда, имеет вид
П(еЛ~еЛ) /JL , \ (3.3.77а) fN = ? -exp I J] 1 є,T1,. I,
~±i п«л Чі у
что эквивалентно W-солитонной формуле (3.3.15). Это можно показать следующим образом. В (3.3.15) возьмем є,- = 2\.ц — 1, 1 = 1, 2, ..., N, и выберем удобным образом фазовые множи-тели Tf = Tf + Ч?К где exp T1W = - Щ=1, 1ФІ + (Z1)Kkj - kt). Обозначив Ii = ktx — k\t + преобразуем (3.3.15) к виду
N N
(3.3.77b) Fn = Yj (-1)^^+^/2 Де. Il
е = ±1 / = 1 ї</ ' '
(еї-^+1) 4
N
Xexpl
При этом мы воспользовались равенствами
N
E (8.-+1)/2 w
(3,3.77с) (-1)1 =(—1)" Пє?, 216 3. Различные перспективы
к;</ 1 у і, /=. і 41 і'
_(_,).«-,» д
Кі</ ' '
/ Ь _Ь. \ [(eI + 1) (ei + 1)/2~(et + 1)/2_(e/ + 1)/2]
(3.3.77Є) W ' =
(e.fe. - еД) ft-*/) '
Применяя соотношение эквивалентности f — g, получим (3.3.78,
.-±1 <<Л *l) / JJsiJfel Ч< = 1 J
1
Очевидно, что выражение (3.3.78) эквивалентно (3.3.77а), так как множитель /{Щ — Щ) является константой.
Теперь мы воспользуемся преобразованием Бэклунда (3.3.72) для того, чтобы вывести формулу, описывающую суперпозицию солитонных решений [228]. Рассмотрим вначале четыре решения /лг-1, /лг, h и In+і, зависящие от параметров следующим образом:
(3 3 79) ^v-1 ~ ^v-1 ^1' ^2' '''' — и • • kN+l),
fN==fN • • •> kN_\, kN), fN + l=fN + i (ki, ..., kN_x, kN, kN + l).
Пусть к тому же эти решения удовлетворяют преобразованиям
Бэклунда:
(3.3.80a) {Dl-^%)fN_rfN = 0,
(3.3.80b) (^-T^+i) ^-1-^ = 0.
(3.3.80c) {pi ~ ~4 k2N + i) ^N ' f N + l =
(3.3.80d)
Умножая (3.3.80a) на JnIn+i и вычитая (3.3.80b), умноженное на
/лг-ifjv, получим
(3.3.81) fNfH+l (Dlf^1 ¦ fN) - fNJN (DlfN • fN+l) = 0. 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 217
Для любых четырех гладких функций (а, Ь, с, d) от х выполняется тождество
(3.3.82) (Dla-Ь) cd — abD2x(c-d) = Dx ((Dxa•d)-bc - (ad) • (Dxc ¦ b)). Это тождество позволяет привести (3.3.81) к виду
(3.3.83) Dx [(DJn_{ ¦ fN+l) • fNfN + (/„_, • fN+i) • (DxJ N • fN)] = 0. Аналогично из (3.3.80b) и (3.3.80c) следует
(3.3.84) Dx [(DJn ¦ fN) ¦ (fN_JN+l) + (Ш • (DJn-, • fN+J] = 0.
Вычитая (3.3.84) из (3.3.83) и замечая, что Dxa-b =—Dxb-a, получим соотношение
(3.3.85) Dx (DJn^ • fN+l) • (Ш = 0,
означающее, что величина DxfN-rfN+1 пропорциональна fNfN, т. е.
(3.3.86) DjN_i • /JV+І = С/дг/дг.
Постоянная С определяется любыми тремя солитонными решениями (при любом взаимном расположении солитонов). Выражение (3.3.86) называют формулой суперпозиции солитонов. По заданному fo = 1 мы, воспользовавшись преобразованием Бэклунда, вычислим fі, а затем с помощью (3.3.86) найдем fN(M Її 2).
Весьма поучительно вывести задачу рассеяния и временную зависимость для уравнения КдФ из преобразования Бэклунда в билинейной форме. Определим
(3.3.87а) u = 2 (log fN)xx = 2 Inxx^n ~ ^nx
(3.3.87b) ty =
и заметим, что
Pn
L
'N+l
/л
(3.3.88а) =
'л
(3.3.88Ь) = ^ +
In
(3.3.88с) jW'* =^xxxJfub
in
Воспользовавшись (3.3.72), мы получим пару уравнений для одной функции г|з, необходимую для МОЗР:
(3.3.89а) tyxx + игр = Ity,
(3.3.89b) 1Pi + ЗЯтрд + tyxxx -+- utyx = 0 218 3. Различные перспективы
(отметим, что (3.3.89Ь), воспользовавшись (3.3.89а), можно привести к виду -фf = у4і|з + ?^). Таким образом, мы видим, что из уравнения и его Л^-солитонного решения можно вывести и преобразование Бэклунда, и пару операторов, необходимых для МОЗР.
