Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом,
(3.3.9b) P = О,
и ряд обрывается. Поэтому при N = 1 имеем F1 = 1 + е\ (о, = — k\
и
k2 1
(3.3.10) "=T sech2 "2 (k[X ~ kV + riH • 202 3. Различные перспективы
При N = 2 в качестве решения уравнения (3.3.8Ь) мы возьмем (3.3.11) Г = Л + е\ Tli = ktx - k)t + rf • Тогда (3.3.8с) сводится к уравнению (3.3.12а) 2 (dxdt + dl)f{2> =
= _ 2 (^1 _ k2) (- (O1 + co2) + (A, - k2f) еч«+\ имеющему решение
(3.3.12b) /(2) = ^.+?+^
(3.3.12c) ^(^У
(отметим, что k\ ф k2). Подставив /(1>, f(2) в (3.3.8d), убеждаемся, что правая часть (3.3.8d) равна нулю, поэтому возьмем р) — о. Таким образом, при N = 2
(3.3.13) F2=I+ е^ + еч2 + еч,+ч,+Л».
Функция и = 2d2 (In F2) /dx2 соответствует двухсолитонному решению уравнения КдФ. Произведя аналогичные вычисления при N = 3, получим
(3.3.14) F9 = 1 + е^ + еч* + е4» + 6^+^+^.2 е^^лз+л.з +
еП2+Т13+Л23 еЛ,+ті2+ті3+Л12+Л13+Л23>
где коэффициенты Aij определены формулой (3.3.12с).
Основываясь на этих решениях, мы выдвигаем гипотезу о том, что структура общего Л^-солитонного решения имеет вид
(N N \
ЕйгЛг+ Z йгМ;/)>
^ . 1 = 1 к«</ J
где сумма по ц пробегает по всем наборам р,-, і = 1, ..., N. Отметим, что Ац связаны со сдвигами фаз солитонов при рассеянии. Рассмотрим двухсолитонный случай. Положим О < k\ < k2 и определим
li = x-k\i, і= 1,2.
Тогда
-a«)/ + S1.
В системе координат, связанной с первым солитоном, |і фиксировано, и мы вычислим пределы f->±оо. Рассмотрим вначале о, поэтому I2-^-00. ^2-»-О, F2 ~ \ + е\ при этом
(3.3.16) «~-^-sech2 . I
3.3. Прямые методы построения солитонных решений 203
Аналогично при /->—оо, |2-> + оо и е1*2 —>-+оо
Из (3.3.2) следует, что два решения могут отличаться на множитель
(3.3.17) 4 sech2 (^?).
Таким образом, сдвиг фаз в двухсолитонном решении в результате взаимодействия определяется коэффициентом Л12 (отметим, что точно такой же результат был получен в разд. 1.4; см. (1.4.43)). Так же можно проанализировать jV-солитонный случай.
Теперь вернемся к проверке справедливости /V-солитонного решения (3.3.15) [211]. Читатель должен иметь в виду, что это доказательство довольно утомительно и можно, не теряя связности изложения, переходить прямо к примеру уравнения мКдФ (3.3.32).
Теорема. Функция Fn вида (3.3.15) удовлетворяет уравнению (3.3.5).
Доказательство. Подставив (3.3.15) в (3.3.5) и воспользовавшись соответствующими свойствами оператора D, получим
(3.3.18) E Z IfI(^-vi) кЛ ( E (ц, - vi) (- +
(1=0,1 V=o1i ivi / v і J
+ ( Z (И, — Vi) А/) } • exp ( Z 0*< + Vi) Tli +
+ Z (Hity + ViVyM,/) = 0.
1«</ )
Так как щ, Vi = 0, 1, то очевидно, что имеются экспоненциальные члены только вида
/п. m \
expl Z Лі+ Z 2*1« I.
V 1 = 1 і~я+1 /
п+1 /
(с точностью до переобозначения индексов). Затем мы покажем, что коэффициент при этом общем экспоненциальном члене равен нулю. Этот коэффициент имеет вид
(3.3.19а) A= Z Z {- (Z(Hi-Vi) ?,) (.Z(Hi-Vi) A?) + + (Z (нг — vi) k^j J • exp (.Z^hih/ + vivy) Alj^ cond(ц, v). 204 3. Различные перспективы
Здесь cond (ц, v) означает
(3.3.19b) cond (м-, V):
для /=1.....п мы берем только
такие Jii, Vit что ф: ^ + Vi=I, 0 ^ га =S^ N; для і = п + 1, ..., гаг мы берем только такие [гг, -vi, что ф: Hi = Vi = 1, 0 ^ гаг sSC N; для і = гаг + + 1, ..., N мы берем только такие fij, Vi, что hi = v; = 0. Обозначим
(3.3.20) Ol = Hi-Vl, i=l,2, ...,п.
При і > п Oi = 0 (так как либо р,; = Vi = 1, либо цг = Vi = 0)'. Поскольку при і=\, ..., га мы имеем р,; + Vi = 1 (из (3.3.19Ь), то
(3.3.21) Vi = ^.
С учетом (3.2.21) все члены в (3.3.19а), за исключением экспоненциального члена, без труда преобразуются.
Используя цифровые обозначения, принятые в (3.3.19Ь), мы оценим член
N
Т = ехр ( ^ + Лі/) =
=ехр( I + E + Z -KZ + Z + Z Yx
V©<© ф<@ ф<® ©<© ©<® ®<0У
Единственный вклад в этот показатель, зависящий от GiOi-, определяется членом „ф < Ф". Поэтому T имеет вид
(8.3.22а) T = const ? {трГГ^ (1 + a^) = (3.3.22b) =Const Z(^rrr) -'
Ki 1 '
последнее равенство имеет место, так как a, = ±1. Все это означает, что коэффициент А имеет вид А = const X А, где
(3.3.23) A=E {-(J>^)(J>^) + (Z OiH^ }х X П (orik, - ofaf
Kl 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 205
п
(отметим, что член T (1 HkljTkjf) мы перенесли в выделение/
ную константу).
Докажем теперь по индукции, что A = O. Функция А является полиномом по k{, точнее A = A^i, ..., kn). Мы будем обозначать это так: А = An. Отметим также, что порядок полиноми-
п
ального множителя ^T (сгг?г — Ojkj) равен у п(п—1), поэтому Ki
порядок А такой, что выполнено неравенство (3.3.24) ord (Art) < я2 — п + 4.
Отметим, что
(3.3.25а) A (Zs1) = A1 = E {- (<*Л) MD + af^f} = 0,
CT1-I
(3.3.25b) A (fe„ k2) = A2 = E {- (or.fti + o2k2) (<r,A? + a2k32) +
Ol, CT2=±1
+ (Oikl + o2k2f) (aA - = = Skik2 (ki — kl) (kx — k2f E O1O2 = 0.
Cl, <J2 = ±1
Функция A(ftb ..., kn) обладает следующими свойствами:
(i) Дя — четная функция ki, т. е.
