Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.1.22)
«-—?+¦jT-Kf)1-
Преобразовывая эти выражения, мы опять придем к (3.1.19).
Следует подчеркнуть, что (3.1.19) сохраняется для всех высших уравнений КдФ, которые порождены той же самой (пространственной) задачей рассеяния (3.1.9а). Компонента t преобразования, т. е. (3.1.10), определяет, какое конкретное уравнение преобразуется.
Вывод ПБ уравнения в себя, основанный на подходящей задаче рассеяния, обсуждался также в работах Абловица, Kayna, Ньюэлла и Сигура (1974) [12] и Коно, Вадати (1975) [288]. Исторически преобразования Бэклунда использовались не только для отыскания соответствующих задач рассеяния, но и для построения частных решений задач (например, солитонов). Мы видели, каким образом ПБ часто приводили к задачам рассеяния. Теперь давайте обсудим, как строить частные решения при помощи ПБ. В частности, рассмотрим однопараметрические семейства ПБ уравнений в себя, скажем (3.1.7) для уравнения sin-Гордон и (3.1.19), (3.1.20) для уравнения КдФ. Если известно одно решение уравнения, то интегрирование преобразования Бэклунда позволяет построить другое решение. В каждом изученном случае, однако, даже без этого единственного интегрирования можно обойтись, доказав «теорему о суперпозиции» (см. [311, 312]). Эту теорему впервые доказал Бьянки (1902) [64] для уравнения sin-Гордон (3.1.8). Из (3.1.7) он 187
3 3. Различные перспективы
вывел, что четыре решения уравнения (3.1.8) связаны формулой (3.1.23) tg (Jt=SL) = ^l±A.tg (S^L) ,
где (а\, а2) — произвольные постоянные. Этот результат, как показал Лэм [309], можно использовать для получения точного А/-солитонного решения. При известном ПБ уравнения в себя нетрудно найти формулу, аналогичную (3.1.23), но доказательство ее справедливости весьма утомительно. Подробности можно найти в [311, 312] (см. также разд. 3.3, где ПБ обсуждаются с точки зрения билинейных уравнений Хироты).
Грубо говоря, действие ПБ на заданное решение уравнения (скажем, КдФ) сводится к тому, что добавляется или уничтожается один солитон. Если до преобразования решение (м0) удовлетворяло неравенству
OO
:(3.1.24) J |и0|(1 +\x\)dx< оо,
—-OO
то можно сформулировать более точное утверждение. Мы покажем, что в результате действия на м0 преобразованием Бэклунда порождается решение и\, также удовлетворяющее (3.1.24), причем его спектр (как потенциала в (3.1.9а)) отличается от спектра Uo в точности на одно дискретное собственное значение. Приведенное здесь изложение основывается на работах Дейфта и Трубовица [136] (см. также [382], в особенности статью Уолквиста), Вадати, Сануки и Коно [494], Калоджеро [89]. Отметим, что зависимость от времени никак не отражается на наших рассуждениях, и поэтому мы ее опускаем. По этой же причине полученные результаты справедливы для любого уравнения КдФ высшего порядка, связанного с задачей рассеяния (3.1.9а).
Пусть и0(х) является вещественной функцией, удовлетворяющей условию (3.1.24), и
^XX + «о'Ф = — ^Ф» — OO < д; < OO
в точках дискретных вещественных собственных значений A = = — к2п < ... < — K21. Возможность п = О не исключается, и, кроме того, эта задача может иметь непрерывный спектр. Пусть ?2 > K2n и пусть g(x) удовлетворяет уравнению
(3.1.25) gxx+Uog = Z2g,
причем g(x)~> є > О при всех х. Дейфт и Трубовиц [136],обобщив теорему Крума [127], показали, что если определить щ выражением
(3.1.26) U1 =ид+ 2^ Ing1 3.1. Преобразования Бэклунда
187
то Ui удовлетворяет (3.1.34), а спектр задачи
(3.1.27) + М> = -
имеет п + 1 дискретных собственных значений X = —<С < —к2п < ... < —K2h При этом собственная функция, отвечающая (—?2), имеет вид 1 /g(x), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой в (3.1.27).
Чтобы связать (3.1.26) с (3.1.19), положим v = gx/g- Так как g > е > 0, то V определено всюду. Из (3.1.25) следует, что
Л — Sxx ( 8х\2
Х ~ Є У g ) '
т.е.
(3.1.28) Vx =-U0-(-Z2)-V2,
что является преобразованием Миуры. Если положить wx = и, то (3.1.26) превращается в
(wi)x = (w0)x+ 2vx,
так что
w1-w0
а из (3.1.28) получим
^ W1 + W0 ^ _^i-MJ0 у
Последнее совпадает с (3.1.19) после замены ?2-н>--E;2. Если
функции и0 и Ui удовлетворяют (3.1.19), а каждая из них уравнению КдФ, то соотношение (3.1.20) удовлетворяется автоматически.
В рассмотренном случае мы показали, что ПБ добавляет одно собственное значение к спектру, т. е. добавляет один со-литон. Напротив, если бы мы взяли щ в качестве заданной функции, то функция и0 определилась бы из соотношений (3.1.19, 20) и требования м0->о при х^-оо. Функция и0 также удовлетворила бы уравнению КдФ, а спектры задач рассеяния с потенциалами щ и м0 отличались бы ровно на одно собственное значение. Таким образом, ПБ может добавлять или уничтожать солитоны. Дейфт и Трубовиц [136] вывели jV-солитонную формулу для уравнения КдФ, воспользовавшись теоремой Крума.
С целью упростить изложение в этом разделе мы ограничились рассмотрением ПБ только для дифференциальных уравнений в частных производных. Однако близкая аналогия между непрерывными и дискретными задачами, обсуждавшаяся в разд. 2.2, наводит на мысль, что дискретные ПБ должны бы 188
