Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
dt
к = 1 A = I
кф\
(2.3.45) - П (Yfe - К) Yfgr (Yi) Д (V/ ~ Y,) ¦
= - 2i (X, + o'sgf (Y/) W2 (Y/) П (Yy - 4).
ft=і
где а' = ±1 и ^(E) дается формулой (2.3.33). Воспользовавшись (2.3.40) и равенством ^1(E)Zg2(E)=I, получим
(2.3.46) ^L = -jr^i-(2y . + и (х0)) RU2 (Y.), / = 1.....N,
П (Yi-Yft) кфі 169 2. МОЗР в других постановках
И наконец, воспользовавшись формулой обращения (2.3.23), преобразуем (2.3.46) к виду
Уравнения (2.3.34) и (2.3.47) определяют функции y(xn,t), по которым мы можем восстановить потенциал u(x0,t) (2.3.23), являющийся решением уравнения КдФ. Эти системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть проинтегрированы при помощи подходящего преобразования (преобразования Абеля). По заданным в некоторой точке значениям -у/ и знакам Oj мы определим у, во всех точках интервала, решив систему (2.3.34). После этого мы имеем начальные данные для системы (2.3.47), которую тоже можно решить.
При N = 1 полином R(E) (2.3.33) имеет третий порядок, поэтому решение у, ураьнений (2.3.34) и (2.3.37) является эллиптической функцией ОТ X и t. Интегрируя, получим хорошо известную кноидальную волну:
(cn(«|m) — эллиптическая функция Якоби с модулем т). Эта теория позволяет расширить класс периодических по х решений уравнения КдФ и включить в него решения, выражающиеся через гиперэллиптические функции.
Геометрически мы можем представить себе у,- движущимися вдоль невырожденных запрещенных зон Ij = (EiE2j- ^ E ^ ^ E2j+u j=l, ..., N) в комплексной плоскости Е. Отождествив соответствующим образом границы разрезов, проведенных вдоль запрещенных зон двух экземпляров комплексной плоскости, получим риманову поверхность R корня R(E) (2.3.33). Точка у і пробегает путь, состоящий из двух участков [/,-, +1] и \U, —U- Первый отвечает верхней границе разреза с о, — 1, второй нижней границе с о/ = —1. Точка переходит с одной границы разреза на другую в момент прохода через концы зоны (рис. 2.2).
Теперь мы опишем процедуру интегрирования уравнений (2.3.34) и (2.3.47). Определим координаты
A = і кфі
и =-2 (E3- E2) сп2 (л/E3 -E1 (х- 2 (Ei + E2 + E3) t) + + Т)01 т) + E1 + Ei,
(2.3.48а)
pI = (Y/. °/)> 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 169
т. е. у/ с учетом знака о;, и преобразование (Абеля)
n- 1
(2.3.48b) Qm(E)=Yj
/V-I
Ek dE
km rU2{e) , Л/ <Р/
к = 0
P
(2.3.48с) ты (Л- PN) = Yj § (E).
/=і
Я2/
Обычно коэффициенты Cftm нормируют условие (а;- — цикл, обходящий соответствующую запрещенную зону Ij)
(2.3.48d) § Qm (E) = 2ш'б/т,
aI
которое приводит к N уравнениям для N неизвестных. Из (2.3.48d) следует, что коэффициенты Ckm вещественные (так
&+!
Рис. 2.2. Разрез на комплексной плоскости; движение точек у/.
как R112(E) является чисто мнимым для Е, лежащих в запрещенной зоне). Отметим, что преобразование (2.3.48с) определено
неоднозначно (к т)т можно добавлять кратные ф . В любом
а.
случае вычисление dy]m/dxu с помощью (2.3.48с), (2.3.34) после некоторых преобразований дает
(2.3.49) = Z 0-.(3/)? =
/=1
Л-1 /N к \
k=о
Однако имеет место тождество
л' vft
(2-3.50) Yr1-= bk.N-i,
1 = 1 П (YJ - Yj
п = I
пф! 171 2. МОЗР в других постановках
где бк,т — символ Кронекера. (Это можно доказать, вычислив интеграл
if-/1—*»
П (V - Yn)
п = \,пФ!
по контуру, охватывающему все точки уп.) Учитывая (2.3.50), мы из (2.3.49) немедленно получим
(2.3.51) -?-:= 2iCN_Um.
Итак, мы показали, что (2.3.34) сводится к интегрируемой системе (2.3.51) с помощью преобразования (2.3.48).
Аналогичным образом мы можем определить зависимость переменных г\т от времени (воспользовавшись (2.3.50)):
(2.3.52) = Y Qm(Qj) ^l =
1-і
N-1 N к / N 2iV+l
=StYjCkmZ-W-^—IEvs-I Z I=
A=O /¦=> П (У/_УД*=1 ,-,
n=l пфі
2ЛГ+1
J JV ^JYfl ^
==8/( ^Ys-Y Y )C'V-l.m—
Vs=I S=I J
N-1
-W YjCkmY
Y /
ft+i
*=о /=і П (Yy -Ys)
і
S=*/
Имеет место следующее тождество:
N
(2.3.53) Y
V/
fe+1
П (Yi-Y/)
0„ k = 0, 1, .... N — 3,
1, k = N- 2,
N
Zyi, k = N — 1.
(=i _
ІФІ " г=і
Первые два равенства в (2.3.53) (k ^ N — 2) следуют из (2.3.50), а последнее можно доказать по индукции. С учетом
(2.3.53) уравнение (2.3.52) приводится к виду
2ЛГ+1
(2.3.54) iHT = - - - 4/C"-i. - E Еі-
j-j 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 171
Таким образом, получаем из (2.3.51), (2.3.54): (2.3.55а) = +
(2.3.55b) xm = 2Cff_llfB,
2ЛГ+1
(2.3.55с) ®m = 8Сдг_2, т + 4Сдг_1, т E Er
/= і
Волновые числа кт и частоты Wm в (2.3.55) вещественные (мы уже отмечали, что Cjk, определенные из (2.3.48d), суть вещественные коэффициенты).
Преобразование (2.3.48) обратимо (см. [144, 143]), поэтому мы можем записать
(2.3.56) P1=Pjinu .... %)¦
Теперь из (2.3.23) и (2.3.48а) следует, что и имеет вид
(2.3.57) и (л:) = ZCnl.....¦%) + const
(т. е. и является функцией г)і, ..., Tj/v)• Этот результат означает, что частное решение уравнения КдФ, отвечающее Л^-зон-ному потенциалу, имеет в точности N фаз, и это решение является в общем случае условно периодическим по времени. Каждое у] «движется» внутри своей запрещенной зоны с неким определенным периодом. Поскольку мы с самого начала наложили условие периодичности по х, то все у; являются периодическими (с периодом Т) функциями X.
