Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
5. Имеются ли случаи, когда данные рассеяния можно вычислить явно? Если да, то попытайтесь их вычислить.
Раздел 2.3
Возможно, упражнения к этому разделу следовало бы назвать «нерешенные задачи».
1. Слово «солитон» означает ныне точное решение вполне интегрируемого эволюционного уравнения на оси —оо<л:-<оо, отвечающее единственному дискретному собственному значению в спектре соответствующей задачи рассеяния. Однако первоначально этот термин употреблялся Забужским и Краска лом [523] для обозначения локальной волны в их численных экспериментах с уравнением КдФ при периодических граничных условиях. Описать на языке (чисто дискретного) спектра периодической задачи, чем отличаются «солитоны», которые наблюдали Краскал и Забужский. Если известны оба спектра для некоторого начального условия периодической задачи для уравнения КдФ, то можно ли предсказать, сколько «солитонов» будет наблюдаться в численном эксперименте?
2. (а) Определить время возвращения iV-зонного решения уравнения КдФ. Упражнения 175
(b) Основываясь на численных экспериментах для уравнения
ut + иих + б 2Uxxx = О
при 0 < X < L с периодическими граничными условиями и начальными условиями вида
и (X, 0) = sin —J-.
Забужский [521] нашел эмпирическую формулу для времени возвращения
_ 0,71 т 1 г — ' Ь>
где Ть — время опрокидывания решения в уравнении с 8 = 0. Можно ли эту формулу вывести аналитически? При каких условиях она применима? Имеется ли какое-нибудь обобщение этой формулы для более широкого класса начальных условий? Глава 3.
Различные перспективы
Краткий обзор. В предыдущих двух главах мы видели, что некоторые нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных при определенных граничных и начальных условиях можно точно проинтегрировать методом обратной задачи рассеяния (МОЗР). Стоит отметить, что этим способом мы получаем общее решение задачи, которое пока невозможно получить никаким другим методом. Тем не менее МОЗР не является единственно возможным подходом к эгим задачам. В настоящей главе мы обсудим некоторые другие точки зрения на этот круг задач.
Довольно богатое многообразие имеющихся методов мы разобьем на группы в соответствии с тем, на какие из вопросов они позволяют дать ответ. Ниже представлена попытка такого разбиения, охватывающая различные подходы, в том числе и не рассматриваемые в этой главе.
Описание задач, интегрируемых при помощи МОЗР. Задачи, которые можно решить при помощи МОЗР, обладают целым рядом уникальных свойств, к которым относятся солитоны, бесконечная серия законов сохранения, полный набор переменных типа действие — угол. В общем случае уравнения не обладают такими свойствами и, по-видимому, не могут быть решены при помощи МОЗР. Поэтому возникает естественная задача описать множество нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. С практической точки зрения важно, существует ли относительно простой тест, который применим непосредственно к заданному уравнению и позволяет ответить на вопрос, можно ли это уравнение решить при помощи какой-нибудь модификации МОЗР. Это относится к уравнениям в частных производных, дифференциально-разностным уравнениям, конечно-разностным и т. д. В этой главе, однако, мы остановимся исключительно на уравнениях в частных производных.
В настоящее время принято считать, что к 1 + 1-мерному уравнению применим МОЗР, если оно обладает либо преобразованием Бэклунда (разд. 3.1), либо неабелевым псевдопотен- Краткий обзор
177
циалом (разд. 3.2), либо точным iV-солитонным решением (вероятно, N^ 3 является достаточным, a N = 2 еще нет [223], разд. 3.3.6), т. е. эти условия считаются достаточными для применимости МОЗР. С другой стороны, требование, чтобы дифференциальное уравнение в частных производных обладало «свойством Пенлеве» (разд. 3.7), предложено в качестве необходимого условия интегрируемости методом обратной задачи рассеяния. Условия, являющиеся необходимыми и достаточными, не известны
В многомерном случае (с размерностью большей 1 + 1) Захаров и Шульман (1980) [548] предложили метод, основанный на анализе дисперсионного соотношения линеаризованного уравнения. Гипотезу о свойстве Пенлеве (разд. 3.7) можно распространить на случай большего числа измерений. В настоящее время неизвестно, связаны ли эти два подхода.
Поиск задачи рассеяния. Пусть дана система, структура которой в принципе позволяет применить метод обратной задачи. Существует ли регулярная процедура нахождения соответствующей спектральной проблемы? Иначе говоря, существует ли метод поиска спектральной проблемы, настолько эффективный, что его неуспех гарантирует отсутствие существования такой проблемы?
Исторически наиболее успешным методом поиска задач рассеяния было угадывание операторов, иногда с использованием
') В настоящее время проблему, сформулированную авторами в этом разделе для 1 + 1-мерных дифференциальных уравнений, можно считать в основном решенной. В работах А. Б. Шабата, его соавторов и учеников получены условия интегрируемости — необходимые условия существования симметрии высокого порядка или по крайней мере двух локальных законов сохранения высокого порядка (см. оригинальные работы [1*] (1979), Г2* 1 (1980), [3*] (1983), [4*] (1985) и обзор [5*] (1984)). Условия интегрируемости являются настолько эффективными, что их можно использовать не только для проверки заданного уравнения, но и для описания всех интегрируемых систем уравнений определенного вида. Эта программа впервые была полностью реализована в работе [1*], посвященной описанию нелинейных уравнений типа Клейна—Гордона, обладающих симметриями высокого порядка. Для квазилинейных уравнений третьего порядка аналогичная задача решена в [6*], [7*]. В работе [8*] дано исчерпывающее описание уравнений вида Ut — F(x, и, Ux, ихх), обладающих симметрией порядка три или больше. Описание всех дифференциально-разностных эволюционных уравнений вида ип — \{ип-и ип, Ип+і), обладающих локальными законами сохранения высокого порядка, можно найти в [3*]. Описание систем уравнений является более сложной задачей. Сейчас она полностью решена только для систем двух уравнений вида u1 = a(u)uxx + F (и, и*) (условия интегрируемости получены в работе [4*], описания систем в [9*], [10*], скоро будут опубликованы исчерпывающий список и классификация этих систем). Во всех этих случаях удалось доказать, что несколько первых условий интегрируемости являются не только необходимыми, но и достаточными для описания систем с богатым набором симметрий или локальных законов сохранения высокогд порядка. — Прим. перев, 178
