Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом,
(2.3.26а) T(x0 + dx0, k) (I + Qdx0) = (I + Qdx0)T (х0, к),
и в пределе dx о ->- О
(2.3.26b) -|Z_ = [Q, f],
где [Q, T] = Q? — fQ. (Читатель может отметить аналогию с (1.2.4с).)
Теперь мы вычислим Q(A0)1 воспользовавшись
(2.3.27) <?(*о) = Ф*Д*; *о. k)®~x{x- х0, к).
Нам удобно выбрать х равным х0, поскольку правая часть (2.3.27) не зависит от х. Из граничных условий получим
Г 1 ik I
(2.3.28а) Ф(х0; х0, k) = [ { _.feJ.
Аналогично, матрица
[фх, фхл 1 4>х, фхх,.]
равна
[—ik E-U(X0)I ik E-U(X0)I
При выводе (2.3.28с) мы воспользовались граничными условиями:
(a) ф(х0; х0, ?)=1, поэтому (d/dx0)<p(x0; х0, E) = 0 и
Ф.ї0 (х0; х0, Е) = —ф* (х0; х0, Е) = —ik)
(b) Фл: (х0; х0, E) = ik, поэтому (djdx0) Фх(х0; х0, Е) = 0 и фх*, (X0; х0, Е) = — ухх (х0; х0, Е) = (Е — и (х0)) Ф (х0; х0, Е) —
= Е — и (х0). Из (2.3.27), (2.3.28) следует
(2.2.29) Q(X0) = -^ ^1]+ ^[5
И наконец, подставляя (2.3.4Ь) в (2.3.26Ь) и используя (2.3.29), получим
(2.3.30а) = -іка - |'-(а-Ь*) + ika - |j(a + Ь), (2.3.30b) = -ikb + ^(b - а) - ikb + ^j-(а+ Ь) 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ
165
и комплексно сопряженные к ним выражения (мы предполагаем потенциал и вещественным). Из (2.3.20) следует, что aR = = (а а*)/2 удовлетворяет уравнению
(2.3.31а) daR/dx 0 = 0,
которое означает, что корни (Ei) уравнения а\ = 1 не зависят от X0- Кроме того, теперь мы можем найти уравнения для Yi(X0)- Из (2.3.30) имеем
(2.3.31b) ^-{al + bi) = -2kbK.
Из равенства I a I2 — \bf=\, взятого в точках E = yjt где (а, + Ь,)(Е = Уі) = 0 (по определению у/ (2.3.9)), следует, что
(2.3.31с) Ьк = іоіл/і—а%, 0, = +1.
Воспользовавшись (2.3.19), (2.3.22) и вычислив (2.3.31) в точках E = у,-, получим
at 2n + 1
(2-3.32) - П Jr=-2^/ П
A = I ( = 1
кфі
или, определив
2ЛГ + 1
(2.3.33) /?(?)= П (? - ?,),
( = 1
из (2.3.32) выведем
2IaiR112 {у Л
(2.3.34) -^ = -V-^-, <х = ±1, /=1, ..., Ar.
П (V/ - Yfe)
Jfe = 1, кФі
Система уравнений (2.3.34) задает зависимости точек у,- от х0, которые в свою очередь определяют и(х0) при всех Xo- Величины Уі и знаки Oj считаются заданными в некоторой начальной точке Xo- При прохождении у j через границу запрещенной зоны величина о, будет менять знак. Точки Ei, і = 1, 2, ..., 2N1, являются точками ветвления. Для корня Ru2(E) мы сделаем разрезы вдоль запрещенных зон между E21- и ?2/+1, /=1,.... n от Е = —оо до Eь Так возникает риманова поверхность корня RX/2(E).
Замечательно, что существует преобразование, позволяющее проинтегрировать систему N нелинейных дифференциальных уравнений (2.3.34). Перед тем как перейти к этому вопросу, мы вначале покажем, как вспомогательный спектр зависит от времени, если потенциал удовлетворяет уравнению КдФ. Эта 166 2. МОЗР в других постановках
зависимость, как будет показано, также может быть представлена в виде системы N обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.
2.3. с. Зависимость от времени. Зависимость собственных функций от времени для (2,3.1), (2.3.2), как было показано в разд. 1.4, имеет вид
(2.3.35) Vt = Mv, М = (4Е + 2и)-^-их.
В любой заданный момент t имеются две линейно независимые функции vi, V2, удовлетворяющие (2.3.2), (2,3.35). Мы можем разложить их по ф, ф* следующим образом:
(2.3.36) О1 = Ы0ф + Ы0ф*. і= 1.2.
Подставив (2.3.36) в (2.3.35), получим, что ф удовлетворяет уравнению
(2.3.37) ф t — Мер = Яф + (іф*,
где X, [х зависят только от t. (Аналогично ф* удовлетворяет комплексно сопряженным уравнениям.) Теперь мы определим X, |х. При X = X0
(2.3.38) Ф=1, фг = 0, ф X = ik, ф^ = О
(для ф* аналогично). Таким образом, из (2.3.37) получим (* = X0)
(2.3.39а) 0 = ik (4E + 2м (*„)) — их (х0) + X + ц. Вычислив дх от (2.3.37) в точке х = х0, получим (2.3.39Ь)
О = ikux (лг0) — Uxx (X0) + (4E + 2и (X0)) (и (х0) — Е) + ik (X — р.). Разрешив (2.3.39а, Ь) относительно X, р, найдем (2.3.40а) X = ^-uxx(x0)-4ik* + i^,
(2.3.40Ь) [х = их (х0) — 2iku (X0) + ихх (х0) — ^ и2.
Эти результаты можно записать в матричной форме
(2.3.41а) Ф, = <2Ф + ЛФ+У,
где Ф определено в (2.3.4b), Q — в (2.3.27), а Л и V имеют вид
/X н \ /0 Qcpx \
(2.3.41b) Л==(|Г ГJ VHo QbJ- 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 167
Вычислив (2.3.41) в точке х = Xo+ T и воспользовавшись (2.3.4), получим уравнение
(2.3.42а) ftФ (X0) + ТФ{ (х0) = QTO (x0) + Af (х0) + F (х0 + Т),
которое приводится к виду
(2.3.42b) Tt = [A,f],
где [Л, f] = AT — ТА. (Опять отметим соответствие с (1.2.4с).) В терминах a, b уравнение (2.3.42Ь) имеет вид
да ,» «,
-Jf = Iib - lib,
(2.3.43)
Отсюда нетрудно вывести, что а# и О/ -f bi (напомним, что а« = (а-(- а*) /2 и т. д.) удовлетворяют уравнениям
да г.
(2.3.44а) =0,
dt
(2.3.44b) -L- (a, + bj) = - 2ц й (a, + b,) + 2 (ц, + X1) bR.
Из (2.3.44) немедленно получаем, что собственные значения E1-(корни уравнения а\ = 1) не зависят от времени. А из (2.3.44Ь) можно найти движение вспомогательного спектра у/. Воспользуемся (2.3.19) и равенством b\ = a2R — 1 + а] — b). В точках E = у і получим
