Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
гл. 1; обратите внимание на изменение знака) (2.3.2) vxx + (E-u)v = О, E = R
Определим два решения уравнения (2.3.2), ф(х; х0, k) и if>*(x; х0, к) (ф* комплексно сопряжено с ф), таких что при х = X0 (х0— произвольная точка внутри интервала 0 ^ Xo =? Т)
(2 3 3) Ф Х°' ^ = 1' Ф* ^0'' Х°' ^ = 1'
Vx {хо> xQ' k) = ik> Ух (хо> хо< k) = - ik-
Если ф(х/, Х(\, k) является решением (2.3.2), то решением является и (р(х+ T1-, X0, k). Поскольку ф, ф* образуют полный линейно независимый набор решений, то составленная из них матрица фундаментального решения удовлетворяет соотношению
(2.3.4а) Ф (х + Т; х0, k) = f (х0, k) Ф (х; х0, k),
где
(2.3.4Ь)
/f фЛ ~ (a b \
Ф(х\ х0, k) = у, J (х; х0, k), T (х0, = a,J (х0, k).
При этом T часто называют матрицей монодромии (см. разд. 3.7). В периодической задаче она играет роль матрицы рассеяния. Вронскиан двух решений (2.3.2) не зависит от х, т. е. W(и, v) = uvX — VUx — const. Так как W (ф, ф*) = —2ik, то, вычислив определители (2.3.4), получим
(2.3.4с) \а I2 -Iftp=I.
Так называемые функции Блоха i|)±(x; х0, k) определяются как решения (2.3.2) при дополнительном условии
(2.3.5) ty± (х0; х0, k) = I, ty± (х + Г; *0> k) = Xty ± (.к; х0, k).
Так как і|з± удовлетворяют уравнению (2.3.2), то они являются линейными комбинациями функций ф, ф*:
(2.3.6) 1|з± (х) = Сф (л:) + D<p* (х)
(остальные аргументы подразумеваются; С, D константы). Из определений (2.3.4а), (2.3.5) получим, что С, D удовлетворяют соотношениям
(а — Я,) С + Db* = О,
(2.3.7) ЬС + (а* - X) D = 0.
Для существования нетривиального решения (С, D) для X должно выполняться соотношение
(2.3.8а) X2-X(a + a') + \af-\b\2 = 0, 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ
159
ИЛИ
(2.3.8b) A2 — 2 aR% + 1 = О,
где ur — вещественная часть а. Для вещественных E (Е = k2) возможны следующие случаи.
(1) Если |а«|> 1, то одно из собственных значений больше единицы, а другое меньше единицы. Поэтому функция Блоха неограничена.
(2) Если I а/? I < 1, то I А, I = 1 и функция Блоха ограничена. В данном случае мы обозначим aR{k) = cos p(k) и, следовательно, К = ехр (±ф(?)).
(3) Если |ад| = 1, то Я = ±1 и функция Блоха является либо периодической, либо антипериодической.
Теперь мы определим два спектра, которые позволят восстановить потенциал и.
Основной спектр. Основной спектр состоит из собственных значений Ei = k2, для которых по крайней мере одна из собственных функций является периодической или антипериодической. Точки E1 являются корнями уравнения |ая| = 1. Разрешенными зонами являются (открытые) сегменты, расположенные между соседними Ei, в которых IaffI < 1. Запрещенными зонами называются открытые сегменты между соседними Eh в которых I а* I > 1. Точки Ei называют границами зон. Типичная функция а я = aR(E) показана на рис. 2.1.
На рисунке видно, что запрещенным зонам отвечают интервалы между E2) и ?2/+1. Зависимость aR(E) иногда называют диаграммой (определителем) Флоке. Многие свойства спектра, которые мы будем обсуждать в этой главе, были тщательно рассмотрены с другой точки зрения в книге Магнуса и Уинклера [341].
Вспомогательный спектр уг- Определим у,- — такие значения Е, в которых
(2.3.9) а, + Ь, = 0.
Поскольку выполняется условие I a I2 — | b I2 = 1, соотношение (2.3.9) означает, что а\=\ +?. Таким образом, собствен- 160
2. МОЗР в других постановках
ные значения у і лежат в запрещенных зонах или на границах зон.
Вспомогательный спектр можно определить также другим способом, потребовав, чтобы собственная функция, удовлетворяющая уравнению (2.3.2) (мы будем обозначать ее у(х\ Xq, k)) удовлетворяла фиксированным граничным условиям. Например, в этом случае
(2.3.10) у (X0) = 0, у (х0+T) = 0.
Тогда из разложения у = Лср -f- Вср* с некоторыми ненулевыми А, В и с помощью (2.3.10) и (2.3.4) можно вывести (2.3.9).
Теперь мы перечислим спектральные свойства ?,¦ и v«. Они доказываются стандартным применением в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. (Методы доказательства читатель при желании может найти в [341] или в [368].)
Спектральные свойства.
(1) Основной спектр состоит из счетного множества вещественных собственных значений. Разделим его на два множества: невырожденные границы зон Ei и вырожденные границы зон Ei. В невырожденном случае дая'дЕ\ Е=Е (т.е. Ei является простым корнем уравнения a2R— 1 =0); равенство daJdE |?_g =0
выполняется для вырожденных границ зон. Каждое E1 представляет собой двойной корень уравнения а^—1=0, корни кратности больше двух отсутствуют. a'R(E)=?0 при |as(?)|< 1.
(2) Вспомогательный спектр также состоит из счетного множества вещественных собственных значений. Они могут лежать либо внутри запрещенных зон, либо на границах зон. Все эти собственные значения являются простыми корнями уравнения ai + bi = 0. Далее мы разделим вспомогательный спектр на два подмножества yi и уи Спектр yi совпадает с ?«, и существует одна и только одна точка yi в каждой запрещенной зоне. (Эти спектральные свойства являются следствиями осцилляционных теорем в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.)
