Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
виде. Покажите, что а (0) = cos . Поэтому условие
Q0 (оо) < я/2 является необходимым для отсутствия дискретных собственных значений. (Сатсума и Ядзима [451] показали, что для семейства вещественных потенциалов при г — —q одно дискретное собственное значение появляется при Qo(oo) = = я/2, второе при Qo(oo) = Зя/2 и т. д.)
5. Пусть г = —q* в (1.2.7а), причем q(x) = Q (где Q = = const) при 0 < х < L и q(x)= 0 на остальной части оси. Вычислить данные рассеяния {а(?), b(Z,)}. Обсудить число и расположение дискретных собственных значений как функций Q и L. Как собственное значение отражается на argQ? Показать, что Im(S) > Q Для любого дискретного собственного значения.
6. Доказать, что a(k), определенное в (1.3.35), имеет аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость.
7. Пусть q(х)^.0 в (1.2.20а). Доказать отсутствие дискретных собственных значений (с Я<0). (Указание: использовать осцилляционную теорему.)
8. (а) Пусть в (1.2.20а) q(x)=Q (вещественное) при 0< < л: < L и <7(х)=0 в остальных точках. Вычислить данные рассеяния. Обсудить число и расположение дискретных собственных значений как функций от Q, L. Показать, что для любого собственного значения |Я| < |Q|.
(b) Сделать то же самое для q(x) = Q/ch2(тх) в (1.2.20а) (Q, т вещественные). (Указание: положить t —Vcirnx и воспользоваться присоединенными функциями Лежандра.)
(c) В случаях (а) и (Ь) вычислить p{k = 0) в явном виде и показать, что р(0) = —1 почти для всех потенциалов из этих семейств. Чем выделены потенциалы с р(0) Ф —1?
OO Упражнения
105
(Другие ограничения на число и расположение дискретных собственных значений можно найти в работах [453] для (1.2.20а) и [12], [451], [253] для (1.2.7а).)
Раздел 1.4'
1. (а) Найти односолитонное, двухсолитонное и бризерное решение для уравнения мКдФ (1.2.2) с помощью линейного интегрального уравнения (1.3.29) при подходящих данных рассеяния.
(b) В действительности имеется две формы для уравнения мКдФ, имеющих солитоны:
qt 4- §q2qx + qxxx = 0 {q вещественно), 4t + 61 <721 ^ + ?^ = 0.
Как такие частные решения соотносятся друг с другом для этих двух задач?
2. (а) Возьмите одну из систем уравнений (для г, q), интегрируемых с помощью (1.2.7), и пусть г и q в начальный момент не связаны между собой. Показать, что односолитонное решение имеет сингулярности в бесконечном количестве вещественных точек (X, t), за исключением случая q = аг*, а — const. Показать, что сингулярность может развиться из бесконечно гладкого начального условия.
(Ь) Показать, что ^ rqdx является сохраняющейся величиной
для эволюционного уравнения. Пусть г = q*а, а вещественно. Показать, что решение остается в L2, если начальное условие принадлежало этому пространству. Показать, что принадлежащие L2 функции не могут иметь сингулярностей описанного в (а) вида.
3. Пусть для (1.2.20а) q{x) = N(N + l)m2/ch2(mx) (как в упр. 8 разд. 1.3).
(a) Для N = 2 найти явный вид собственных функций грь ¦фг дискретного спектра. Найти далее a, dt (і = 1,2) и вычислить сдвиг фаз двух солитонов уравнения КдФ. Проверить (1.4.44) в этом частном случае.
(b) Сделать то же самое при N = 3.
(c) Как изменятся сдвиги фаз, если эволюционным уравнением является не уравнение КдФ, а уравнение КдФ пятого порядка? Что будет происходить в случае КдФ первого порядка (т. е. qt + cqx = 0)?
Раздел 1.5
1. В случае Л_(?) = (1/2/) (2?)3 показать, что (1.5.16) сводится к системе двух уравнений мКдФ. 106 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
2. В случае Л-(?) = (— 1/2г) (2?)5 показать, что (1.5.16) приводит к системе из двух уравнений пятого порядка. Если у (к2) = = —(2k4), показать, что (1.5.21) сводится к другому уравнению пятого порядка. Если г = q и вещественно, показать, что решения этих двух уравнений связаны преобразованием Миуры
и = -V2 — Vx.
3. Является ли (1.5.16) следствием (1.5.5) или просто согласуется с ним?
4. Какое общее эволюционное уравнение, аналогичное (1.5.16), получится для задачи рассеяния (1.2.25)?
Раздел 1.6
1. Показать, что отображение (q, r)->S, определенное в (1.6.42), является каноническим преобразованием для любой га-мильтоновой системы вида (1.5.16). (В основном этот анализ следует работе Захарова и Манакова [534].)
(a) Так же как это было сделано для а(?) в (1.6.39), вычислить градиенты (по г, q) функций й, Ь, Б.
(b) Пусть и{1) = (и\1\ «У') и w(l) суть два решения (1.2.7а) для I = Ii и пусть ы(2>, — два других решения при | = |2, Доказать тождество
2/ (I2 - 6,) К W11W22' - «W1 =
«= дх [(«№ - A2>) (wW - W(M2))].
(c) Это тождество позволяет вычислить в явном виде интегралы из скобок Пуассона, содержащие а, й, Ь, Б. Показать, что
{а (І.), Ь (У) = - 2. ^t1, ы [a (I1) Ь (I2) - b (I1) а (У^п^ехр {2і (I1 -
-I2)*)].
Найти скобки Пуассона всех остальных комбинаций а, й, Ь, Б.
(d) Тождество
eikx
lim —т— = nio(k),
Ж->оо ?
в котором левую часть следует интерпретировать в смысле главного значения, можно доказать, переходя к пределу
