Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
В обоих случаях ограничения (1.7.31) гарантируют ограниченность решений уравнения (1.7.29) с граничным условием (1.7.30) 96
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
при всех вещественных Z (см. разд. 3.7). Таким образом, в области \х\ ^ 0((3/)1/3) решение уравнения (1.7.23) приближенно является автомодельным и удовлетворяет уравнению (1.7.29) с граничным условием (1.7.30). Типичное решение приведено на рис. 3.2, с. 281.
Так же как и решение линеаризованной задачи, решение уравнения (1.7.23) быстро осциллирует при —х » (3/)1/3. В этой области после некоторой модификации можно применять любой из методов, которые мы использовали для вычисления асимптотики уравнения (1.7.2). При этом удобно воспользоваться автомодельным решением уравнения мКдФ с медленно меняющимися параметрами. Общее решение уравнения (1.7.29) не может быть выписано в явном виде, но при Z-*—оо (т. е. в области осцил-ляций) формальное асимптотическое решение имеет вид
w (Z) ~ (-Z)-1/4 el sin 9 + О (I Z \-w),
0 ~ |-(-Z)3/2 _ -L ad2 In (-Z) + 0 + О (IZ |3/2),
где d и 0 являются константами интегрирования; для удобства положим d ^ 0. Затем, считая d и 0 зависящими от X = —х/31, мы получим при —X (301/3 интересующий нас вид решения:
V (х, t) ~ (3/)-1?-"? sin 0 + о ((3/)-»),
(1.7.32) Q _ 2/Хз/2 _ d2 In 3/ _ _з_ ad2 In X -ь Э.
Эта формула, взяїая в главном порядке, аналогична (1.7.4).
Законы сохранения определяют d(X). Следует сделать единственное изменение в методе из предыдущего раздела: чтобы показать, что только область —x^>(3t)l/3 вносит вклад в интегралы движения, нужно использовать (1.7.26) и (1.7.28). Окончательный результат состоит в том, что на линии
(1.7.33а) X = -^f = I2
(1.7.33b) d2 (X) = In I а |2= — ст|~а~ (т~) Г}'
Отметим, что (1.7.33а) снова определяет групповую скорость, соответствующую дисперсионному соотношению линеаризованной задачи, как скорость, с которой информация передается при t —оо. Отметим также, что (1.7.33Ь) практически совпадает с (1.7.8Ь).
Для того чтобы одновременно найти и d(X), и 0(A), подставим (1.7.32) в задачу рассеяния (1.2.7а). Аналогом (1.7.11) яв-
jl яєтся
л 7 ~ m~V9X~h'*d (X) sin 0 • enlxw2,
(щ)х ~ (3trmX-ll4dX sin 0 • e-2ilxWl 1.7. Поведение решений на больших временах
97
при следующих граничных условиях:
Cb(J) npw-°°-
( а Ц) \
Здесь мы воспользовались (1.7.26) и (1.7.28), чтобы показать, что Wu W2 являются константами (в главном порядке) при
X > 0.
Важное различие между (1.7.34) и (1.7.11) состоит в том, что при t —> оо и X = O(I) (1.7.34) зависит от двух быстрых переменных (0 + 2|х) и (0 — 2%х) и одной медленной (X). Вычисления, аналогичные тем, которые привели к формулам (1.7.20), следует производить, учитывая это различие. Здесь мы опустим детали вычислений; их можно найти в работе [457]. Окончательный результат имеет вид (1.7.33), и (при 1^3=0)
1
(1.7.35) - -f odl In 2 - J In (1=1) (d2)y dy +
о
+ тИ ттт) (rfVf-
В пределе X = -x/3t-+0, a Z = x/(3t)1/3 ->- — оо, приближенное решение (1.7.32, 33, 35) уравнения мКдФ гладко переходит в решение (1.7.28, 30). Эта сшивка отчасти подтверждает правильность проделанных здесь вычислений и будет играть важную самостоятельную роль в разд. 3.7.
Обсудим результаты, полученные для (1.7.23). В отсутствие солитонов асимптотическое решение уравнения мКдФ, развившееся из подходящих начальных условий, дается формулами (1.7.26) при (3/)1/3, (1.7.28, 29, 30) при |*| ^0((3/)1/3) и (1.7.23, 33, 35) при (—х) > W3. Если г(0) ф 0, то решение носит нелинейный характер в промежуточной области, какой бы малой ни была его амплитуда. Тем не менее в этом случае можно показать, что асимптотическое решение переходит в решение линейной задачи, если амплитуду начального условия (в смысле нормы Li) взять равной нулю. Таким образом, два предела (t
оо начальная амплитуда ->0) коммутируют для уравнения мКдФ, так же как в случае (1.7.2). Отметим, что, утверждая коммутативность пределов, мы не ограничили общности, исклю-
4 Зак. 114 98
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
чив солитоны; они автоматически отсутствуют в пределе малых амплитуд в соответствии с (1.7.1).
1.7. с. Уравнение Кортевега — де Фриза. Каждое решение уравнения мКдФ при а=+1 порождает решение уравнения КдФ
(1.7.36) Ut + Quux + иххх = О с помощью преобразования Миуры [379]
(1.7.37) U = -V2-Vx.
Таким образом, наши результаты об асимптотическом поведении решений уравнения мКдФ также определяют асимптотическое поведение бесконечного набора решений уравнения КдФ. Однако эти решения уравнения КдФ оказываются практически бесполезными. Дело в том, что почти для любого заданного начального условия, для которого уравнение КдФ может быть решено при помощи МОЗР, возникающее в результате эволюции решение не может быть получено по формуле (1.7.37) из быстро убывающего (по х) решения уравнения мКдФ.
Мы можем изучить это преобразование более детально. Пусть v(x, 0) является гладким, быстро убывающим (по х) начальным условием уравнения (1.7.23) при а=+1. Пусть r(k) обозначает коэффициент отражения, соответствующий v(x, 0). Из (1.7.31) следует, что I г (0)| < 1. Пусть теперь p(k) = r(k), где р(А) является коэффициентом отражения, соответствующим некоторому решению уравнения КдФ. Тогда r(k) порождает некоторое решение уравнения мКдФ по формуле (1.7.24); при этом р(&) порождает решение уравнения КдФ согласно (1.3.37). Сравнив эти два интегральных уравнения, нетрудно показать, что эти два решения связаны соотношением (1.7.37).
