Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
В разд. 1.4 обсуждалось Л^-солитонное решение. Здесь мы остановимся на таких задачах, когда из начального условия солитоны не возникают. Эти задачи представляют самостоятельный интерес.
(І) Солитоны отсутствуют, если г = -fq* в (1.5.16) и \q\ -»-О достаточно быстро при -> оо.
(ii) При г =—q* в (1.5.16) солитоны могут появиться, но они не возникают для достаточно малых начальных данных (см. (1.3.1 бе)):
OO
(1.7.1) J I <7 (л:, 0)| dx < 0,904,
— OO
(iii) В (1.5.21) солитоны отсутствуют, если q(x, 0) <0.
Этим задачам посвящено довольно много работ (Абловиц,
Ньюэлл (1973) [21], Шабат (1973) [459], Манаков (1974) [345], Сигур, Абловиц (1976) [456], Захаров, Манаков (1976) [536], Абловиц, Сигур (1977) [26], Майлз (1979) [377], Абловиц, Краскал, Сигур (1979) [16], Сигур, Абловиц (1981) [457]). После того как мы узнаем поведение соли гонов и излучения по отдельности, мы рассмотрим их взаимодействие.
Перед тем как перейти к описанию, мы сделаем два предостережения. Первое связано с тем, что в этом разделе почти нет результатов, имеющих строгое обоснование. Результаты носят формальный характер и имеют весьма важное значение для приложений, но еще требуется доказывать их асимптотичность. Второе (родственное) предостережение связано с тем, что в литературе по этому вопросу встречаются ошибки ').
') Строгие результаты и обоснования асимптотических разложений при t-+oo можно найти в работах [6*—11*]. Причем в работах [7*, 8*] дано строгое математическое обоснование подхода Захарова — Манакова. — Прим
перев. 86
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
В соответствии с качественным асимптотическим поведением решений эволюционные уравнения можно разделить на три группы:
(a) уравнения вида (1.5.16) с четным дисперсионным соотношением линеаризованной задачи (например, нелинейное уравнение Шрёдингера);
(b) уравнения вида (1.5.16) с нечетным дисперсионным соотношением линеаризованной задачи (например, модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза);
(c) уравнения вида (1.5.21) (например, уравнение Кортевега — де Фриза).
1.7. а. Нелинейное уравнение Шрёдингера. Мы начнем с уравнения
(1.7.2) iqt qxx — 2ст [ <712 <7 = О,
где о = ± 1 и <7->0 при IXI -> оо. Его (формальное) асимптотическое решение устроено сравнительно просто, поэтому здесь можно без особого труда пояснить некоторые детали метода. Чтобы исключить солитоны, мы потребуем для начальных данных выполнения условия (1.7.1) при о = —1. Мы также будем предполагать, что начальные данные являются гладкими и убывающими достаточно быстро при оо.
Имеется точное автомодельное решение уравнения (1.7.2):
(1.7.3) q(x, = + f]}.
Отправляясь от него, мы будем искать решение с медленно меняющимися параметрами А, ср (см. разд. П.1). При /-> оо разложение имеет вид
(1.7.4а) q(x, /) счэ Гт Rem,
(1.7.4b) * = I-^M-B =
- к-f)+¦f 0« Mf)+Л.о (f))+0 ((jTl)2) •
(1.7.4с) е-КЯ+ЁЕ^Й-
- і (f )2 + it1" . Cf) + о (f )] + О ((LLy) . 1.7. Поведение решений на больших временах
87
где
01. о = g — S ("Т") — эт0 произвольная вещественная функция,
/ы = -4а/(3(Г)2 + Г).
/і. о = fg" + 2gT - 4а/ (2 (/O2 + //") и т. д.
Это разложение можно продолжить до любой степени п. Все коэффициенты разложения можно выразить через две произвольные функции f(x/t) и g(x/t)\ для этого следует подставить (1.7.4) в (1.7.2) и привести подобные члены. Уравнение (1.7.2) не налагает ограничений на функции fug; мы покажем, что они определяются по начальным данным.
Теперь мы предположим, что при t-*-oо решение уравнения (1.7.2), развивающееся из некоторых начальных данных, стремится к виду (1.7.4). Тогда асимптотическое решение (1.7.2) будет определено, если функции /, g выражены через начальные данные. Это можно сделать несколькими способами; здесь мы обсудим два из них.
Вначале мы покажем, что законы сохранения однозначно определяют /, но не налагают ограничений на g. Это находится в соответствии с формулировкой разд. 1.6 в том смысле, что сохраняющиеся величины связаны в переменных действие — угол с действием и поэтому несут лишь «половину» информации, необходимой для описания динамической системы.
Напомним, что в разд. 1.6 интегралы движения уравнения (1.7.2) были получены в виде
OO
Cn= u t)dx,
— оо
где
Ho = — 0I Я I2. Hi == —
и для п > 1
п—і
(1.7.5) 88 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Подставив (1.7.4) в (1.7.5), получим
OO
C0 = -O J f2{X)dX, (a = -j-) , — 00
OO
C1 = -a J (JL) P (X) dx,
— OO OO
C3 = -CT 5 (4)2 P (X) dX.
— OO
По индукции можно доказать, что
ря(х, /) = -с (^ytTO +о (if),
так что при
OO
(1.7.6) Cn = — a J (-1-)nf2(X)dX, п = 0, 1,2....
— OO
Формулы следов (1.6.17) выражают интегралы движения через данные рассеяния:
OO
(1.7.7) Cn = - -І- J (2г'|)" In I а (|) |2 d%.
— OO
Если все эти интегралы сходятся, то бесконечная последовательность уравнений движения, возникающая при приравнивании (1.7.6) и (1.7.7), имеет в точности одно решение:
