Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, Абловиц, Краскал и Сигур [16] показали, что почти для любого гладкого начального условия уравнения
CXJ
КдФ, удовлетворяющего неравенству ^ (1 + [ х I2) I и I dx < оо,
— OO
(1.7.38) р(0) = -1.
Таким образом, почти для всех начальных данных уравнения КдФ мы не можем приравнивать р(&) к r(k) и эффективно пользоваться преобразованием (1.7.37). Поэтому требуется отдельный анализ асимптотического поведения решений уравнения КдФ. Этот анализ вполне аналогичен проделанному нами для уравнения мКдФ, но из-за (1.7.38) возникает некоторое различие. Как обычно, мы предполагаем начальные условия быстро убывающими при |x|->oo и гладкими, а также предполагаем 1.7. Поведение решений на больших временах 99
отсутствие солитонов. Здесь мы только сформулируем основные результаты; детальное рассмотрение можно найти в работе [26].
При (3/)1/3 интегральный член в (1.3.37) является экспоненциально малым по сравнению с двумя оставшимися, и поэтому
(1.7.39) и(х, 0~ ^УДГ exP {—2/fe3},
где k2 = х/Ш. Другим представлением решения в этой области, которое остается справедливым при x/3t -> 0, служит
(1.7.40) и(х, 0 ~ - (30~2/3 [р (0) Ai' (Z) +
+ Е^Ш'И'
п = \ J
где Z == {х + х0)/(3t)m, а константа X0 = —/р' (0)/2р (0) выбирается из соображений удобства.
В области I x I ^ О ((3/)1/3) мы ищем решение уравнения КдФ в виде
(1.7.41) и (х, 0 - (30-2/3 If (Z) + (ЗО"1'3/, (Z) + (St)-^f2 (Z)+...].
(Один из немногих строгих результатов этого раздела был получен Шабатом (1973) [459], доказавшим справедливость асимптотического представления (1.7.41) в главном порядке.) Функции /, /ь ••• подчиняются обыкновенным дифференциальным уравнениям
f>" + 6/Г — (2/ + Zf') = 0,
(1.7.42) /Г + 6 (//,)' - (3/, + Zf) = О,
/Г + б (ff2)' - (4/2 + Zf2) = -3 {ПУ
с граничными условиями, полученными из (1.7.40) при Z->- + oо. Например,
(1.7.43) /(Z)--р (0) Ai'(Z) при Z-*+оо.
Теперь очевидна важность условия (1.7.38). Поведение решения (1.7.42а, 43) зависит от р (0).
(І) Если |р(0)| <1, то решение ограничено при всех конечных Z и осциллирует при Z-*--оо. Такие решения уравнений (1.7.42) связаны с ограниченными решениями уравнения (1.7.29) формулой (1.7.37).
4* 100
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
(п) Решения, отвечающие |р(0)| > 1 или р(0) = +1, не представляют интереса.
(iii) Если р(0) = —1, то при Z-*--оо /(Z) асимптотически
приближается к
(1.7.44) / (Z) -4 - Т" (-2Z)-"2 + 4 (~22Г2 + О ((—2Z)_7/2).
Таким образом, если р(0) = —1, то первый член в (1.7.42) линейно растет. При этом MZ) растет экспоненциально, а /4(Z) даже быстрее, т. е. разложение (1.7.41) становится беспорядочным. Можно показать, чго (Z->—00, р(0) =—1)
(1.7.45) и(х, 0--=^-4- +
+ {(30~2/3С (-2Z)-^exp( (~У)3/2)} -- {(3/)-2/з с (_2Z)-s"exp( (~23Z)3/Z)} +...],
где
С = 0,118 {р" (0) + [р' (0)]2>.
Коэффициент 0,118 был определен численным интегрированием [26, 377]. Ясно, что (1.7.45) нарушается при Z-)—оо. Это нарушение означает существование новой области, которая может быть названа «бесстолкновительной ударной волной», или переходным слоем. Существование этой новой переходной области является прямым следствием (1.7.38); в типичных асимптотических решениях уравнения мКдФ такая область отсутствует.
Для приложений бывает важно знать расположение и скорости распада минимума основной волны (см. рис. 4.4). Местоположение минимума можно найти, продифференцировав выражение (1.7.45). При очень больших временах
(1.7.46а) (-2Z) ~ (2 In З/)2'3,
и в окрестности этой (движущейся) точки
/1 .7 4CL4 1 f21n3*\2/3
(1.7.46b) и---2-І—) •
Эта асимптотическая скорость распада совершенно не зависит от начальных условий. Однако время, необходимое для выхода на асимптотику (1.7,46), является настолько большим, что во многих прикладных задачах эта заключительная стадия развития начального условия может не реализоваться.
Для определения структуры бесстолкновительной ударной волны необходим отдельный анализ. Подробности можно найти 1.7. Поведение решений на больших временах 101
в работах [26] и [377]. Характерный масштаб волны неявно связан с нарушением (1.7.45). Удобно определить новую пространственную переменную I
(1.7.47а) (3/)~2/3 (—2Z)~5'4 exp [^f1) = ^3
и зависимую переменную t)
'(!•7.47b) и(х, t) =-=ZLgfc t).
Можно показать, что в главном порядке фронт бесстолкнови-тельной ударной волны имеет вид
(1.7.48) ff (Е, 0---І- ' 1
ich2 {-L (Б-6о)}
Это выражение сшивается с (1.7.45), если I0 = —3/2 In (С/2). Такое представление становится несправедливым при больших I (1пЧ>?»1п0 или t1'3 (In t)4/3 >(—*)> t1'3 (In 0 2^3, и его следует заменить на другое медленно изменяющееся решение
(1.7.49) . g ~ a (Y) + b (Y) сп2 (Ф + Ф01 v (К)),
где Ф является (подходящим образом определенной) быстрой переменной, а У — медленной переменной. Оно сшивается с (1.7.48) при У-v 0. При У-V сю решение уравнения КдФ (на самом хвосте ударной волны) задается формулой
и (х, і) ~ (3/)-2'3 (-Zyli (?^)1/2 cos 9,
