Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(О A1 /42\ а21л; 0 0 ) ^3lAt2 0 0 / 2.1.15) IAli = Alxx + 2Ai(o2]\Al\2 +аЗІ\А2|2), iA2t = A2xx + 2Ао (o2l I Л, I2 + CT311 A212).
(II) Ядзима, Оикава [513]. Взаимодействие лэнгмюровских и ионозвуковых волн в плазме:
СО Ее~ix in \ О 0 Eelx I,
- і О О J
(2.1.16) iEt + ±Exx + ±(l-n)E= О,
щ + пх(\Е\\ = 0
(см. также [512]). Похожее уравнение, описывающее взаимодействие коротких капиллярных волн с длинными гравитационными волнами, изучали Джорджевич и Редекопп [138]. 2.1. Задачи на собственные значения 117
(iii) Захаров (1974) [527], Абловиц и Хаберман (1975) [8]. Уравнение Буссинеска:
/00 1 Af = JjV21 0 (1+(O3)JV3I
\ Ar3I 1 0
где если
со3 = <?-2ш73, N31 = IMfx + V, = + -у-ф**).
t CO3-I
H = O3- 1, V = —J2—• w = q>x,
то
(2.1.17) Wtt - PHwxx + 6 (Wt)xx + wxxxx) = 0.
Мы отметим, что уравнение (2.1.17) является некорректным, когда ?2 = 1, хотя оно часто возникает в различных физических ситуациях. Однако в этих приложениях уравнение (2.1.17) возникает как длинноволновой предел, и поэтому короткие волны, являющиеся причиной некорректности, при асимптотическом выводе не должны рассматриваться.
Кроме того, в этом случае задача на собственные значения для оператора (2.1.1а) может быть сведена к скалярной задаче для оператора третьего порядка
(2.1.18) + +Al1H+ АМ>,== О,
где
M1 = N3h х + JV21, M2 = (2 + (D3) N3i
(здесь имеется аналогия с выбором г = —1 в случае п = 2). Захаров начинал в своей работе [527] с уравнения вида (2.1.18). Естественной временной зависимостью, связанной с (2.1.2), является
ф, = Л* + B^ +
А, В, С — полиномы по Я.
Следует отметить, что интересное обобщение описанной идеи возникнет, если в (2.1.1) формально устремить п-*-оо. В этом случае задача на собственные значения и временная зависимость приводятся к виду
(2.1.19а) (х, у, () = iid (у) V (х, у; t) +
OO
+ \ N (х, у, z; t) V (х, z; О dz, — 00
OO
(2.1.19b) її-(х, у, і)= J Q(x, у, z; t)v(x, z; і) dz. 118
2. МОЗР в других постановках
При этом описанная здесь процедура приводит к интегро-диффе-ренциальному уравнению
(2.1.19с) Nt(x, у, г\ О = « (у, z) Nx (х, у, г; /) +
OO
+ J (а (у, z') - а (z', z)) N (х, у, z'; t) N (х, z', z; і) dz', — 00
где
а {у, z) = а (z, у).
Условие симметрии N(x,y,z\t)=o(y,z)N*(x,z,y\t) при y>z совместно с этим уравнением, если а удовлетворяет условиям о(у, z')o(z', z) = —а (у, z) для у > z' > z.
2.1. b. Теория рассеяния. Теперь мы обсудим обратную задачу рассеяния, связанную с матричными ЗХЗ-операторами, т.е. (2.1.1). Кроме того, рассмотрим задачу о нелинейном трехвол-новом взаимодействии, имеющую важное физическое значение, к которой применимы некоторые из этих идей. В основном мы будем следовать работе Kayna [259] (некоторые из этих результатов можно найти в работе Захарова и Манакова [535]')). Полное решение обратной задачи рассеяния для операторов порядка выше третьего в настоящее время отсутствует2). Тем не менее было показано (см., например, [546, 119]), что в случае пХ" имеется уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко, связанное с n X "-оператором, но при этом неясно, какие ограничения следует наложить на начальные условия для применимости этого подхода. Также мы отметим работу Шабата [460], в которой изучались некоторые вопросы, связанные с задачей рассеяния для оператора «X«, и недавние работы Захарова и Шабата [547] и Захарова и Михайлова [540, 541], посвященные формулировке метода задачи Римана.
Рассмотрим уравнения (2.1.1а) на интервале \х\ < оо, причем ? является собственным значением, V является ЗХ 1-матри-ией-столбцом (вектором), N является З X 3-матрицей потенциалов с нулевыми диагональными элементами (Na = O) и D = = diag(cfi, d2, d3). Предположим, что Nu-*- 0 достаточно быстро при IXI ->¦ оо; для вещественных ? это позволяет определить на
') Полное решение обратной задачи рассеяния, связанной нелинейным уравнением трехволнового взаимодействия, содержится в препринте Захарова и Манакова [1*1, на опубликованный позднее сокращенный вариант которого ссылаются авторы книги. Другой подход к этой же задаче можно найти в работах Шабата [460], [2*] и монографии [539].
2) Следует отметить, что во время написания этой книги отсутствовало полное решение задачи и для операторов третьего порядка. В работах Kayna [3*] и [374] такая задача была в основном решена. Полное и математически строгое решение общей задачи можно найти в более поздних работах Бил-са [4*] и Билса и Кауфмана [5*].—Прим. перев. 2.1. Задачи на собственные значения 119
каждом из кондов оси х по три линейно независимые собственные функции, т. е. мы определим решение ф(р (где индекс У = 1, 2 или 3 обозначает /-ю собственную функцию, п= 1, 2 или 3 обозначает п-ю компоненту вектора ф(/) с граничными условиями
(2.1.20а) ф(Л ~ 6n> fltdix при х^-оо
и собственные функции ^f с граничными условиями
(2.1.20Ь) ^fl ~ бПі JeitdIx при х^+оо.
Вронскиан, стандартным образом определенный для таких матричных уравнений,
/U1 V1 Ot1N
(2.1.21а) W (и, V, да) == det ( U2 V2 W2 ,
