Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
-OO OO
A_{t)2ab = J (-ф^ + ф^)^.
— оо
Из определений данных рассеяния и из задачи рассеяния можно установить равенства
OO OO
S (ф^г)* dx = S (q<f>l + rq>J)dx=ab,
— OO —OO
OO OO
(1.5.32) J (%%)x dx = S Ш + 'Ф?) dx = - ab,
-OO -OO
OO OO
^ (Ф1Ф2 + Ф2Ф1)* dx = 2 jj (<7ф2ф2 + "Ріфі) dx = ай — bb — 1,
— 00 —00
воспользовавшись которыми с учетом (1.5.31) получим
ОО OO
5 (<p?rt - ф\qt) dx = -2A_ (О J (<?ФІ + Гф2) dx,
— 00 —00
OO OO
(1.5.33) J (ф^ - ф2qt) dx = -2A_ (S) J (qq\ + гф?) dx,
-OO —00
OO CO
5 (Ф1Ф1О — ф2<Мі) dx = — 2(S) ^ (<7Ф2ф2 + ГФ1Ф1) dx.
— 00 —00
Таким образом, определяя квадраты собственных функций 0.5.8«) Ф, _(J); «,-(Jj). =
мы получим, что (1.5.33) сводится к
OO
(1.5.35) J = i=l> 2> 3'
3 Зак. 114 где
(1.5.36b)
66 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
т. е. к (1.5.5). Это соотношение было по существу отправным пунктом нашего построения общего эволюционного оператора.
Следует отметить, что вместо квадратичных комбинаций фг, ф,- в (1.5.35) мы могли бы найти аналогичные выражения через переменные ірі, грі, проинтегрировав (1.5.28) от +оо до х и воспользовавшись соответствующими равенствами при х=+оо. Мы бы получили
OO
(1.5.36а) J (о3щ + 2Л_ (?) и) W1 dx = О,
— оо
(1.5.36с) »,-(J. ».-(^J
Перейдем теперь к краткому обсуждению вопроса о полноте квадратов собственных функций. Kayn [258] показал, что набор lFi, Ч^, определенный в (1.5.36с), не является полным. Для того чтобы получить полноту, к нему следует добавить_два вектора
W3, взятых в точках дискретного спектра t,n}1= ,> ')
Эти результаты позволяют построить разложения некоторых комбинаций исходных потенциалов и получить ряд простых выражений. В частности, используя xP,-, получим
OO _
(1.5.37) (_<7) = ~т ${4(g) 4^*' ?) + 4(1)4^(*. o}^+
^ ^ ' -OO
N b W b + 2/ у -f W1 (х, ZJ - 21 У -? W2 (х, V ak V ak
Точно так же, воспользовавшись присоединенными собственными функциями, можно показать, что
(1.5.38)
>) Полноту квадратов собственных фукций впервые обнаружил и использовал Kayn (1976а) [258]. В [2*] дано строгое доказательство теоремы о полноте квадратов собственных функций и построена спектральная теория оператора L. Другие приложения и дальнейшее развитие этого подхода заинтересованный читатель может найти в работах [3*—5*]. —Прим. перев. 1.5. Оператор эволюции
67
Отметим также, что аналогичную теорию можно построить и для оператора Шрёдингера (см. [267, 285]). В этом случае разложение потенциала по квадратам собственных функций имеет вид
=O N
(1.5.39) q(x, O=^ kp(k) ^2 {х, 6)Gf6-4?viM52(*. щ),
-OO і = 1
где Yj = ^ijafl и и. является і-м дискретным собственным значением. Уравнения (1.5.37—39) явились отправной точкой работы Дейфта, Лунда и Трубовица [135], которые рассматривали уравнения обратной задачи как задачу о бесконечном наборе осцилляторов, лежащих на поверхности бесконечномерной сферы.
Отметим, что другой вывод общего эволюционного уравнения (1.5.16, 21) был дан Калоджеро и Дегасперисом в серии работ (см,, например, работу Калоджеро [89] и приведенные в ней ссылки). Задачу рассеяния для оператора Шрёдингера (так же как и в случае оператора Захарова — Шабата из разд. 1.3) можно переписать в виде интегрального уравнения и выразить коэффициент отражения через интеграл от потенциала и собственной функции:
оо
(1.5.40) 2ikp (k) = $ <7(*Ж*, k)e~ikxdx.
— OO
Более общая формула для двух потенциалов q\(x) и 92(*) имеет вид
(1.5.41) 2/fc [р, (fc) — р2 (?)] = ^ Ы*> b)[qx [х) — q2{x))$2{x, k)dx,
она сводится к (1.5.40) при q2 = 0. Калоджеро и Дегасперис получили различные обобщения формулы (1.5.41). Важно отметить, что q\ (х) и q2 (х) являются независимыми.
Если q(x, t) удовлетворяет некоторому эволюционному уравнению, мы можем положить qi(x) = q(x,t0), q2 (x) = q (х, to + + AO и устремить A^-+0. Тогда (1.5.41) свяжет dtp и dtq, а соотношения типа (1.5.41) позволят вывести (1.5.21), т. е. общее эволюционное уравнение для (1.2.20). Этот подход не имеет заметных преимуществ по сравнению с уже описанным. Калоджеро и Дегасперис получили следующие обобщения: (і) (1.2.20) изучалась для матричных N УС N уравнений; (и) предполагая q — q(x, t, у), можно получить многомерные эволюционные уравнения. Кроме того, используя этот подход, Чью и Ладик [109] получили общее эволюционное уравнение для дискретной задачи рассеяния, которая будет обсуждаться в разд. 2,2.
3* 69
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
1.6. Законы сохранения и полная Интегрируемость. Одной из наиболее важных удач на ранней стадии развития МОЗР было открытие бесконечного набора локальных законов сохранения у уравнения КдФ (Миура, Гарднер, Краскал (1968) [383]). Это открытие вместе с аналогичными результатами для мКдФ привело к преобразованию Миуры, связывающему решения этих двух уравнений и в конце концов к задаче рассеяния для оператора Шрёдингера (1.2.20). В этом разделе мы покажем, что существование бесконечного набора сохраняющихся величин является прямым следствием того факта, что a(k) (коэффициент прохождения в минус первой степени) не зависит от времени. Сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты асимптотического разложения по выражения 1па(&) при &->оо. Кроме того, их просто выразить через данные рассеяния (формулы следов); это будет использоваться в разд. 1.7 и 4.5. И наконец, мы покажем, что нелинейные эволюционные уравнения, для которых In а не зависит от времени, являются вполне интегрируемыми гамильтоновымн системами и что МОЗР является каноническим преобразованием к переменным типа действие — угол, причем In |а| является переменной типа действия. Для удобства изложения мы в основном будем изучать системы вида (1.5.16), связанные с задачей (1.2.7). Вычисления аналогичны проделанным для систем, связанных с (1.2.20), поэтому мы ограничимся формулировкой результатов.
