Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рао рассмотрел эту проблему несколько отличным от Платцмана способом. Способ Рао [543] включает определение (один раз и навсегда) характеристических функций бассейна (Рао полагал, что бассейн полностью закрыт), которые зависят только от топографии бассейна. Он проделал это путем разложения проинтегрированного по вертикали потока на безвихревую и со-линоидальную части. Характеристические функции для обеих частей могут быть определены путем решения соответствующей задачи на собственные значения. Эта процедура ранее использовалась Праудманом [532] и Рао [539].
Работа Хамблина [189] аналогична работе Платцмана (1972), но является более общей. В ней Хамблин, определяя частоты колебаний для мод оз. Онтарио, указал, что по его мнению метод резонансной итерации, используемый Платцманом, с вычислительной точки зрения не эффективен, так как для достижения сходимости оператор матрицы должен быть строго эрмитовым. Хамблин использовал другой метод (примененный также Рао), который он назвал «методом временного множителя», где вместо явной зависимости от времени в решаемых уравнениях был введен временной множитель. Затем из трех уравнений (два уравнения движения и уравнение неразрывности) исключаются
187
компоненты горизонтального переноса. Полученное таким образом единственное уравнение решается с помощью подходящей методики.
Мода Гельмгольца
В гидродинамике мода Гельмгольца представляет собой моду, возбуждаемую в неполностью замкнутой массе воды. Период этой моды больше, чем у самой медленной моды типа сейши, и узловая точка существует только на входе. В акустике этой моде посвящено множество литературы. Платцман [518], по-видимому, первым начал систематическое изучение этой моды, учитывая следующие факторы: нерегулярную форму и глубину воды, многочисленные входы и вращение Земли. Он применил свои исследования к Мексиканскому заливу, у которого два входа — Юкатанский и Флоридский проливы.
Сделаем краткий обзор природы моды Гельмгольца или колебательной моды, как ее называет Платцман [518]. Ли [350] называет ее модой «накачки». Эта мода возбуждается периодическим потоком воды через проходы и, таким образом, аналогична основному тону акустического резонатора (который будет рассмотрен позже). Для невращающегося прямоугольного залива длиной L и постоянной глубины D периоды свободных колебаний водной поверхности имеют следующие значения в единицах 2L/ygD (g — ускорение свободного падения):
при открытом устье: 2, 2/3, 2/5, 2/7, . ..
при закрытом устье: —, 1, 1/2, 7з, ...
При регулируемом перекрытии входа, т. е. при переходе от состояния полностью открытого до полностью закрытого входа, моды, имеющие периоды 2/з, 2A, 1Ii и т. д., постепенно преобразуются в моды с периодами 1, 1/2у 7з и т. д. Однако мода с периодом 2 вырождается в моду с бесконечно большим периодом.
Платцман также показал, что вращение Земли уменьшает период моды Гельмгольца в отличие от периода основной гравитационной моды, который увеличивается.
Акустическая аналогия
В акустике резонатор Гельмгольца представляет жесткую полость с небольшим отверстием. В этой системе с единственной степенью свободы частота колебаний определяется в виде
где V — объем полости, L — длина канала устья; А — поперечное сечение канала.
[543, 571].
(4.54)
188
Если соединяющий канал отсутствует и имеется только отверстие, эффективная длина L определяется по формуле [571]
Le = ^r, (4.55)
где г — радиус отверстия. Для нескольких отверстий с площадями сечений Аи A2, ... и длинами Li, L2, ... частота моды Гельмгольца равна
Резонанс в гавани
Излагаемый здесь материал базируется в основном на статье Майлза [407], который использовал аналогию с электрическими цепями. Рассмотрим гавань с узким входом, которая располо-
Рис. 4.7. Схематическая диаграмма для определения резонансной характеристики гаваней [407].
жена рядом с открытым берегом (рис. 4.7). Майлз указывает на ряд преимуществ метода эквивалентного анализа электрических цепей перед традиционным гидромеханическим подходом. Согласно Майлзу, проблемы внешнего излучения, взаимодействия различных каналов, а также резонанса внутри гавани могут быть рассмотрены раздельно. Параметры для эквивалентного анализа могут быть приближенно определены без полного решения задачи с граничными условиями.
189
На рис. 4.7 гавань H связана с морем через узкий проход M в прямолинейном береге. Возьмем начало прямоугольной системы координат х, у в центре устья, пусть ?t и ?г— комплексные амплитуды падающей волны и волны, зеркально отраженной от линии X = 0. Пусть ?— суммарная амплитуда смещения свободной поверхности, и положим также монохроматическую зависимость от времени ехр(/со/). Тогда
гч (X9 у) = 4" Vi exp {-JK (X cos B1 + у sin B1)} (4.57)
и
Cr = M-X, У),
где /С — волновое число и Vi — мера возбуждения гавани, задаваемая как
V1 = (O9 0). (4.58)
Пусть а — ширина входа и R— некоторый характерный размер гавани. Тогда, если
?«1 и Ka «1, (4.59)
вход в гавань считается узким. Эти условия означают, что движение, вызываемое внутри гавани давлением pgVi, мало, за исключением случая, когда период воздействия совпадает с периодом собственных мод гавани. Поток / через вход M должен быть пропорционален параметру Vt.
