Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
Олсен и Хванг [500] вычислили резонансные моды для бассейна произвольной формы и переменной глубины. Новое свойство их методики заключается в том, что не требуется задавать граничное условие на входе в бассейн. Авторы применили этот результат к зал. Кеаухоу на о. Гавайи.
12*
179
Пусть D (х, у)— глубина воды и Ф — потенциал скорости Линеаризованная форма волнового уравнения имеет вид 1 д2Ф д дФ j ^ д (^ дФ
g on ох \ ох ) • ду'У^ ду )' (4-16)
Предположим наличие периодического возбуждения, действующего извне, которое в конечном счете приводит к стационарному периодическому движению внутри гавани. Для этого случая запишем
ф = ср(х, у) ЄХр( —
(4.17)
где о — частота периодического движения.
Тогда из выражений (4.16) и (4.17) получаем
д
дх
(4.18)
На рис. 4.5 показано, что во внешнем районе задается постоянная глубина (равная глубине на границе между районами) и для него получается аналитическое решение, в то время как для внутреннего района будет дано численное решение.
Поскольку во внешнем районе глубина постоянна, то уравнение Гельмгольца будет иметь вид
V2? + *2? = О, (4.19)
Рис. 4.5. Схематическая диаграмма, использованная для получения граничного условия между внутренним и внешним районами [500].
а — внутренний район, б — внешний границы соответствия.
район,
где
А2==
о2
go
(4.20)
При этом должны удовлетворяться следующие граничные условия:
180
вдоль линии берега
(4.21)
на бесконечности
ср = ср0. (4.22)
Олсен и Хванг [500] сделали несколько упрощающих допущений. Они предположили, что линия берега прямолинейна и совпадает с осью у. Тогда для стоячей волны с прямолинейными гребнями, расположенными под углом ? к оси у у имеем
<р0 = cos (kxcos exp (— iky sin p) для 0<?<ir. (4.23)
Однако если фронт волны расположен параллельно оси у, то ? = 0, а фо равно
cp0 = cosAx. (4.24)
Это условие согласуется с предположением, что волновое движение волны одинаково с любой стороны границы. Тогда
<Р = <Ро + ?', (4.25)
где фо — вклад, обусловленный падающими волнами, а ф'— эффект гавани. Как параметр ф0, так и параметр ф' удовлетворяют уравнению (4.19). Однако граничное условие (4.21) имеет силу лишь для суммы фо +ф':
4г (То + ?') = О, (4.26)
и оно должно удовлетворяться на линии берега Ci и Сз.
Условие на границе между внешними и внутренним районами (на линии «склейки») заключается в том, что значения ф0 и ф' с одной стороны границы должны быть равны значениям ф0 и фА на другой.
Пусть G — функция Грина, a S — контур, по которому ведется интегрирование. Тогда для определения ядра ф' потенциала возмущения запишем
f<4-27>
Интегрирование производится по контуру вдоль отрезков С4г Сз, C2, Ci так, как показано на рис. 4.5.
Функция Грина G должна: а) удовлетворять уравнению Гельмгольца (4.19); б) иметь особенность при R = O и в) стремиться к нулю на бесконечности.
181
В качестве функции Грина может быть выбрана функция Ханкеля первого рода нулевого порядка #<j> (kR), так как
(kR)
-i-ln(/fe/?) при /?— О
(4.28)
aJL=0 /ац
Если контур C4 распространен на бесконечности, то -*-оо и уравнение (4.27) приобретает вид
При /?— OO .
(4.29)
Для численных оценок Ол-сен и Хванг сделали дальнейшие упрощения. Показанные на рис. 4.5 границы Си C2, C3 приняты теперь в виде прямых линий. Система координат зафиксирована так, как показано на рис. 4.6. При этом вдоль линий dab и сае ставится условие твердой стенки.
Олсен и Хванг отметили, что если значение а достаточно велико по сравнению с шириной входа в залив, при нормальном подходе набегающих волн, то данное упрощение мало влияет на результаты. Однако они предупреждали, что для краевых волн, порождаемых при косом подходе падающих волн, влияние этого упрощения может стать ощутимым.
При названных упрощениях уравнение (4.27) приобретает
ay'
Рис. 4.6. Схематическая диаграмма залива и метода, использованного для анализа [500].
/ — залив; 2 — район переменной глубины (использован численный метод); 3 — район с постоянной глубиной (использовано аналитическое решение); 4 — граница, использованная для соответствия; 5 — внутренний район; 6 — внешний район.
ВИД
182
Определим значения R' и R следующим образом:
R {(X+ S)2+(у-г,)2}'/! (4.31)
И
/?^{(х^5)Ч(у-^)2},/2, (4.32)
где I, ц — координаты на границе склейки. Выбор функции Грина в виде
G - - 4" W (*/?) + //і" (ft/?')} (4.33)
удовлетворяет не только трем условиям, перечисленным выше, но также условию
-g-0 (4.34)
вдоль оси у. Уравнение (4.30) превращается в
? (jcy)-~г \ "'?^ яг>(*|у-ч|)*1- (4-35)
—•CX)
Если ай и ае — твердые стенки, то на них
=0. (4.36)
дх
Таким образом, если гребни падающих волн параллельны оси у, то справедливо уравнение (4.24) и для функции <р = = Фо + ф' получаем
а
f(x, у) = cos (be)--f S ат<а0;ч> /4" (к |у-fiDd-n. (4.37)
-в
Здесь под интегралом штрих у ср опущен для удобства.
Затем Олсен и Хванг предложили конечно-разностную схему для получения решения уравнения (4.18) во внутреннем районе при граничных условиях (4.37).
