Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
175
использовать все перестановки и сочетания начальных и «подключаемых» ветвей. Для бассейна с п ветвями необходимо выполнить п2 отдельных вычислений.
M-tO"CH*/Q
4
Modal А -J 4r
дШа2Д Ч'^
-4
-2
Г/)
-} j->
1—і—Г"т—і—і—г
(2) I А 2
----M
(3)
(2)/ / / (5)/
-12
Рис. 4.3. Структура мод 7, 2, 3 и F\ 4 в устьях рек на западном побережье Канады.
/ — ветвь и ее номер, 2 — пересечение и его номер. На горизонтальной шкале число точек сетки.
Генри и Мурти [226] использовали два альтернативных метода. В первом методе (метод собственных значений) уравнения в частных производных заменяются системой уравнений, конечно-разностных по одной переменной и дифференциальных по другой, т. е. дискретных по пространству, но непрерывным по
176
времени. Этот набор уравнений может быть представлен в виде матрицы, в которой собственные значения дают частоты собственных колебаний системы. Этот метод не дает ложных или фальшивых мод и позволяет выделить все истинные моды. Однако этот метод обладает недостатком, заключающимся в том, что сложные системы с множеством ответвлений имеют матрицы очень высокого порядка и вычислительные ограничения могут не позволить выполнить решение.
Вторым методом является метод импульсного «отклика», в котором используются функции Грина. Пусть функция fi (t) описывает внешнее воздействие на систему в некоторой ее точке х\. Тогда реакция системы (ее «отклик») в некоторой другой точке X2 будет описываться функцией г2\
oo
r2(xu 0= І K(X1, хг, t-*)fx(*)dz, (4.12)
— OO
где К — функция Грина. Для случая цунами точка х\ находится у входа в залив. Следовательно, К(х> t) выражает реакцию системы в любой точке X на единичный импульс (единичная дельта-функция) у входа.
Преобразование Фурье выражения (4.12) имеет вид
R*{x, V) = K(X1, х2, O))F(O)), (4.13)
где со— круговая частота. Для случая цунами уравнение (4.13) упрощается до
R(X9 cd) = ]\ (Ху CO)F1(CO), (4.14)
где R (х9 со)—преобразование реакции выхода из залива в точке X на воздействие f\(t) в его устье, а Fi (со) —преобразование самого воздействия f\ (t).
На рис. 4.4 показана эта функция для системы Риверс-Ин-лет. Хотя, по-видимому, метод импульсной характеристики
Таблица 4.4. Сравнение периода (мин) для нескольких первых истинных мод системы Риверс-Инлет, вычисленного методами итераций, собственных значений и импульсного отклика
. Метод собственных Метод импульсного мода Метод итерации значений отклика
1 88,99 88,97 87,38
2 33,75 33,79 36,69
3 25,08 25,06 24,82
4 21,67 21,68 21,35
5 15,27 15,25 15,38
6 11,36 11,36 -
7 9,86 9,86 -
12 Заказ № 5
177
Рис. 4.4. Функция IК (X, со) I на пяти станциях в устьях рек на западном побережье Канады.
а —• пересечение 1,6 — верхний конец ветви 2, в — пересечение 2, г — верхний конец ветви 4, д — верхний конец ветви 5. 1 — мода 2, 2 — мода 3, 3 — мода 4, 4 — мода 5.
Вычисления резонанса для бассейнов нерегулярной формы
Райхлен [533] вычислил собственные моды бассейнов произвольной формы и глубины с помощью, как он их называл, двумерных моделей. Фактически это так называемые одномерные
178
(включающие только одно горизонтальное направление) модели, рассмотренные в разделе 1 этой главы. Трехмерная модель Райхлена, которую он описывает лишь в общих чертах, соответствует традиционной двумерной модели.
Ли и Райхлен [351] разработали теорию вычисления резонансных мод в гаванях с произвольной береговой линией, но постоянной глубиной. Решение двумерной проблемы получено в форме интегрального уравнения, позже аппроксимированного в матричном виде. Область исследования разделена на два района: один — за пределами входа в гавань и другой — внутри гавани. На входе в гавань заданы граничные условия, «склеивающие» волновые амплитуды и их нормальные производные для внешнего и внутреннего решений.
Авторы изучили реакцию гавани на входящие волны, рассматривая «коэффициент усиления», определяемый (см. Ли и Райхлен [351, с. 2169]) как отношение амплитуды волны в любой точке внутри гавани к сумме амплитуд набегающей и отраженной волны у берега (перед закрытым входом в гавань). Они выполнили также некоторые лабораторные эксперименты на модели гавани Лонг-Бич в Калифорнии.
Кларк и Томас [118] вычислили нормальные моды для вытянутого веретенообразного бассейна постоянной глубины и применили свои результаты к внешней гавани Порт-Кембла на восточном побережье Австралии. Эта гавань примерно в 80 км к югу от Сиднея хорошо известна своими мощными сейшами. Хвдака [227] употребил слово «веретенообразный» для характеристики бассейнов, периметр поверхности которых может быть определен как пересечение двух однофокусных парабол.
Периметр такого бассейна можно определить по формуле
J а(а — 2х) для х>О, y2==z[a(a + 2x) длях<0. (4Л5)
Из этого случая вытекает один интересный результат, заключающийся в том, что на входе в гавань вместо узла (что обычно принимается в резонансных вычислениях) оказывается пучность. Это явилось следствием того, что длинные волны, отразившись от стенок гавани, выходят наружу, образуя за пределами гавани систему резонансных стоячих волн. Если эта система такова, что на входе в гавань образуется пучность, то возбуждаются только симметричные моды.
