Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Pe»>.¦JhTa1U наблюденнП
Вычисление
D1 <¦»
I тм I- см
CM
• I»?
6т?
3.0 3,6 4.2 4,6 5,6 5,7 5,8 8,0 10.2
2,0 5.0 3,0 4,0 6,0 3,0 3.0 4.0 6,0
—2.0
—2.0
— 1.4
— 1,0 0,0
-J-0,1 -:-0.2 -\ 2,4 + 4,G
-2.2 -0.8
— 1.2 -0.2 + 1,8
— 1.2
— 1.2 -0.2 + 3.P
CvMMto на ЭЬ реэ
? ВЫ
BM и
ультатс
1ИСЛСНЫ
бором в
D= 5.6 (1= +0.0333
I т I = 4,2 P 0.0222
—7,0
I- 7,3 SH - + 0.3
-6,2
H-0.4 + 0.2
S 40,7
27,6
+ 22.G
На оснопаиии данных табл. 10 имеем oD = 2,13 км; am = 1,75 см; г = = + 0,67, г = 0,81 (найдено по таблицам): ffj =---= 0,41.
v?-з
С вероятностью 0.68 (( = 1) величина ? может принять чпачения
0,40^^^1,22. (230)
По той же таблице (прил. 6), пользуясь крайними значениями г из пы-ражения (2-30), находим соответствующие им значения коэффициента корреляции
- (US - • . • ". -1 0,84. (231)
Следовательно, с вероятностью 0,68 действительный коэффициент корреляции может быть заключен между 0,38 и 0.84.
Вычислим минимально допустимое значение коэффициента корреляции
v" + 36 - - у Ч 0
^ 0,62.
Так как нижний предел г в выражении (231) меньше rm[„ (0,40 < 0,62), вопрос об установлении линейной корреляции нуждается в дополнительном исследи пзн пл.
Использование же формулы (224) для опенки надежности коэффициента корреляции п этом примере приводит к результату
ог = 0,18; 0,18.3<0,о7.
т. е. сd51 зі, как бы установлена. Из этих противоречивы": выводов следует. чк> при малом числе ч опенка точности по формуле (224), впрочем как и но любоJi другой формуле, ненадежна.
§ 21. УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
Для вывода эмпирической формулы, отражающей прямолинейную корреляцию между переменными X и у, применяется уравнение
ih-y~9ijxiXi~x\, (T-.'!)
где р|(1 — коэффициент регрессии у на .v, вычисляемый по формуле
iv г ^L. (2¦.'J)
При прямолинейной корреляции между переменными X и у существует уравнение регрессии .v на у, имеющее вид
xt-x^pxvit/,—l,\, (2.54)
где р1( — коэффициент регрессии X на //, равный
а о
P1,-'— ¦ (235)
"и
Однако во многих случаях уравнение вида (234), если исследовалась зависимость у от х, не имеет смысла; например, никто не станет по ошибкам намерений mD (в рассмотренном выше примере) определять расстояние ?>.
Среднее квадратическое отклонение коэффициентов регрессии при большом п вычисляется по формулам:
у* ах v л - 3
(236)
Уравнение (232) при практическом использовании целесообразно привести к виду
Уі=і>ухх, -1-(у — pysx). (237)
Из формулы (237) легко видеть, что коэффициент регрессии — это тангенс угла наклона прямой, а постоянное слагаемое \у—PyxX) — это отрезок, отсекаемый этой прямой на оси ординат.
Пример. В табл. 11 приведены расстояния D. измеренные света-длльномером СВВ-1. и ошибки этих сторон Л.
По дліиим тлбл. )) вычислить лолффмциент корреляции, ноэффиинеит регрессии, оценить их точность с вероятностью не менее 0,90 и составить уравнение регрессии.
По данным, полученным при вычислении в табл. I I, имеем
коэффициент корреляции по формуле (Ю) равен
г - - - Ю-И - +0.75. 20- 1.75. 1.40
Оценим надежность коэффициента корреляции. Так как число наблюдений п сравнительно небольшое, для оценки надежности применим критерий
Фишера 7
По таблице, помещенной в прил. 6, пользуясь коэффициентом корреляции г — + 0,79 как аргументом, находим г = 1,0714. Оценим надежность г по формуле (229)
пг = ¦— \ =, 0,243 у 20 _ з
Таблица Il
Результаты іідСлюдрциГі
Вычисления
I А 1. cm
во=
8,7
7.0
3.2
14,44
10,24
-12,16
3,7
3.0
-1,2
-0.8
1.44
0,64
+0.96
6,0
4.0
- 1,1
I 0,2
1,21
0,04
+0,22
3,3
3,0
— 1,6
-0,8
2,56
0,64
+ 1,28
5,1
4,0
- 0,2
H 0,2
0,04
0,04
-1-0,04
(5,1
4,0
-І 1.2
+ 0,2
1,44
0,04
-1 0,24
2,7
3.0
—2,2
—0,8
4,84
0,64
H-1.76
4,9
4.P
0.0
-1-0 2
0,0
0,04
0,00
3,1
4.0
— 1,8
-0.2
3,24
0,04
-D.36
3,7
2.0
-1,2
-1,8
1,44
3.24
+ 2,16
5,7
0.0
+ 0,8
— 2,2
0,64
4,84
+ 1.76
4,9
5.0
0,0
-(-1,2
0,0
1,44
0,00
їі,6
3.0
-0,7
-0.8
0,49
0,64
—0,56
7,6
4,0
— 2,7
+ 0.2
7,29
0.04
- 0,54
4,2
3,0
—0,7
-0.8
0,49
0.64
-0,56
2,0
2,0
-2,9
— 1.8
8,41
3,24
— 5.22
4,0
2.0
—0,9
—1.8
0,81
3,24
-1.62
6,5
5.0
- 1,6
+ 1,2
2,56
1,44
+ 1,92
7,2
6.0
— 2,3
+ 2.2
5,29
4,84
+5,06
2,7
2.0
— 2.2
-I.S
4,84
3,24
+ 3,96
4,9
3.80
— 14,4
1-11,2
Z = 61.47
ЗЙ.20
+ 38,54
(4,885)
-14,7
— 11,2
2к - —0,3
0,0
L вероятностью U,90 (t = 1,645) величина z может принять значения
1,0714 —to,-:; г^г 1,0714 + M1;
0,6717?:?? 1,4711.
Из таблицы (прил. 6) находим соответствующие крайним значениям г (С,6717 и 1,4711) значения коэффициента корреляции
+ 0,59 s; ' < і 0,90. (238)
