Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
р ф(Д)-6Д. (250)
Геометрически вероятность р в выражении (250) представляет на рис. 8 площадь заштрихованного элементарного участка при бесконечно малом значении 6Д.
Прежде чем перейти к дальнейшим рассуждениям, приведем без доказательства важную теорему: «.Если случайные ошибки удовлетворяют постулату Гаусса, то законом распределения случайных ошибок является нормальный закон*. Постулат Гаусса состоит в свою очередь в том, что наиболее вероятным значением искомой величины является среднее арифметическое из результатов ее повторных наблюдений (если учитывать только случайные ошибки).
Производная (248) от непрерывной площади F (Д) согласно теореме Лейбница—Ньютона, как известно, есть ордината. Воспользуемся этим положением для получения формулы для вычисления ординат кривой распределения ошибок * (кривой нормального распределения) по заданным значениям Д.
Для краткости говорят; «кривой ошибок».
Обратимся к понятию нормированной случайной ошибки, введенному раньше (§ 15), т. е. примем
Л
Пусть
і - 1
dF(t) - -^e T"dt.
у 2л
Тогда, принимая во внимание выражение (251), имеем
dF(/).-_l_e-T(-S-'f_^
Узя
(251:
(252)
(253)
Ордината кривой ошибок, как функция значений случайных ошибок Д, равна
у - _ v т)
1
Обозначим в соответствии с формулами (186)
1 -п.
(254)
(255)
т л/2
Смысл постоянной h, обычно называемой мерой точности, выясним несколько позднее.
С учетом выражения (255) уравнение для ординаты у примет вид
ф(А) у -
h
—А'Д-'
у;
(256)
Пример. Вычислить значения ординат кривой нормального распределения для ошибок А = 0, т, тл/2, 2т, Зт, если средняя квадратическая
ошибка т ~- 0,47", и построить кривую ошибок.
Вычисления у проконтролировать по таблицам прил. 3.
Решение, а) Вычисление ординат по формуле (256)
У =
It
у;
(с== 2,718).
-Зт, -гщ-т 0 +т. +зт -mifz +т~[Т Рас. 9
Составим табл. 14
б) Построение кривой ошибок (рис. 9).
При построении кривой примем следующие масштабы:
ц = 0,849 соответствует 2,23 см; А — m » 0,65 ем.
Произведем вспомогательные вычисления; в соответствии с принятыми масштабами получим табл. 15.
Заменяя в формуле (250) 6Д на d& (при 6Д -» 0), получим
ЗізДлн не»?
Конт-
Ii с ІЮМ0ПІТЄЛ ЫЗ ьл3
вычисленнч
4113"¦IeH)Ie
\
h
роль
и'
',¦
0
1.504
'•50Л 0.849
V^
0,848
0,5641
0
0
т
'-504 е-о.»>-0.515
0,514
0,342
—0,50
1
ii^ ,-'¦<>-0.312 V л
0,314
0,209
— 1,0
1,41
2т
J^-4. е-^= 0,115
0.114
0,076
-2,0
2,0
Зт
0,0094
Vn"
0,0095
0,0063
—4,5
3,0
Примечание 1я *4'5= 4,5 Ig с: !я е4,5 = -1,5.0.474= і .У5: — ВИ; е~ Л-& "
Таблица 15
Ординат.!
л (л uKcr-fi
Л
л, cm
0,849
2,23
0
0
0,515
1,35
т
0,65
0,312
0,82
0,92
0,115
0,30
2т
1,30
0,0094
0,025
Zm
1,95
Здесь P — вероятность появления случайной ошибки Л для каждого отдельного ее значения, стремящаяся к нулю.
Исходя из формулы (257). получим интеграл ошибок, выражающий вероятность того, что случайная ошибка будет заключена между — а и + а. и рленый
P4 =
2п
<*д.
(258)
Таблица 14
Однако в расчетах рекомендуется полг.яоваться нормированной случайной ошибкой и для вычисления вероятностей применять интеграл нероятно-стеіі {Щ, для которого составлена таблица, приведенная н прил. I.
§ 25. СВОЙСТВА КРИВОЙ ОШИБОК (КРИВОЙ ГАУССА)
Кривая ошибок, как было указано ранее, задается уравнением (256) и показана иь рис. 10.
Эта кривая обладает следующими свойствами. Первое свойство. Функция ф (Д) четная, т. е.
Ф<- Д)-ф(-Д). (259)
и кривая ошибок в силу много симметрична относительно оси ординат. Свойство очевидно.
Второе свойство. Так как ни при каких значениях Д, положительных или отрицательных, функция ф (Д) отрицательных значений не принимает и в нуль не обращается, кривая ошибок лежит над осью абсцисс. Свойство очевидно.
Третье свойство. Функция <р (Д) имеет максимум при значении случайной ошибки, равном нулю (А 0).
Докажем это свойство, для чего найдем первую производную у' -= ф' (Д) и, приравняв ее к нулю, определим значение переменной Д, обращающей первую производную в нуль. Итак, согласно формуле (256).
.У
' V
I*. I 2
\\
А
I
\
\Ъ
V\ T2 м
-2mi
- т
Рис. 10
2У
Де
Приравняв правую часть формулы (26U) к нулю
•2>Р
¦Ле-"'А=0,
(260)
(261)
видим, что условие (261) может быть выполнено только при Д -= 0, что и требовалось доказать.
Четвертое свойство. Кривая ошибок имеет две точки перегиба: одну справа и одну слева от оса ординат, причем ши ті'чки соответствуют значению случайной ошибки, равному средней квадратичеекчй ошибке, т- с. | Д | - т.
Для отыскания абсциссы точек перегиба найдем вторую производную ф" (Д), для чего воспользуемся первой производной Ip' (A) из формулы (261)
