Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
* См, A.M. Длин. Математ и ческа я статистика в технике. AV. Советская naj к а, и И. В. Смирнов, Д. А. Зглигин. Теория вероятностей и математическая сталистика ii приложении к геодезии, m.. Недра, 1969.
Критерий X2 в этом случае вычисляется так:
X"^—- (197-)
По таблице, приведенной в прил. 4, пользуясь %г и числом степеней свободы г как аргументами (число степеней свободы представляет разность между числом интервалов и числом параметров; о, Sk', ?', х), можно найти вероятность р и по ней судить о сходимости эмпирического и теоретического распределений. Величины ki и kl, можно сравнить и непосредственно.
3 3i,kaj .? 477
65
Распределение Стьюдента
При использовании формул интеграла вероятностей и интегральной функции предполагается, что п (число испытаний) достаточно большое. В этом случае среднее квадрэтическое отклонение распределения будет определено надежно. Однако иногда среднее квадратическое отклонение определяется по небольшому числу наблюдений (10—20) и, следовательно, само значение о (или т) будет ошибочным. Так, П. И. Шилов,* основываясь на зависимости средней квадратической ошибки от числа наблюдений, выражаемой формулой
т
т„
V2 0t-l)
приводит значения (в %) этой ошибки (табл. 7).
(199)
Таблица 7
Число наблюделий п
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
Mm=—----ЮО %
У 2 (я-1)
71
50
41
35
32
29
27
25
24
21
Продолжен
и е
т а б
л. 7
Число наблюдений л
14
ifi
IS
25
30
40
EO
75
100
m„= -!--inn %
У 2 (n - 1)
20
18
17
10
14
13
11
10
8
7
Из табл. 7 следует, что значение о или т, определенное по небольшому числу наблюдений п, содержит большие ошибки (см. значение ошибок при п, равном 2—10).
В этих случаях, т. е. при малом числе испытаний (я<20), рекомендуется пользоваться распределением Стьюдента.
Распределением Стьюдента при любом п > 2 называется распределение с плотностью распределения вероятностей
"(f)
(200)
* Шилов П. И. Предельные ошибки результатов измерений и уравновешивании.— Изв. вузов, Геодезия и аэрофотосъемка, 1958, с. 3—14.
где Г — гамма-функция; («—I) — число степеней свободы (в теории ошибок — число избыточных измерений); t— ——М ^ —нор-
а
мировашюе значение случайной величины.
Как известно из алгебры, понятие факториала может быть распространено на любые числа х, в том числе и на комплексные, при помощи гамма-функции, определяемой двояко выражением (см. [7], стр. 195)
Г (X)
=- Hm-
,1 „1-і
х(х+])(х^2) . . .(х+п — 1)
(только при j:>0), (для всех дейст-
(201)
вительпых чисел X кроме (0,—1, —2, —3. . . }). Гамма-функция обладает рядом свойств, в частности, Г(х+ 1)-хТ (jc), I» = («-!)!
при п целом положительном. Этими свойствами воспользуемся для дальнейших рассуждений. Для целых положительных х
Г (jc-M)-Jd
Функция распределения
Fs (0 - ¦
Cf)
(1 + —^f) dt- (202>
Чаще функция распределения Fs (t) записывается в виде
Tdt.
где постоянный множитель
'•(f)
(203)
C--
(204)
Таблица значений
(205)
приведена в прил. 5. С помощью таблиц значений tp можно опреде-3* 67
лять значение tn по заданной вероятности р или вероятность P (t<tp).
П. И. Шилов в упомянутой выше статье приводит для р = 0,93 и р — 0,99 при п > 2 значения tD (табл. 8)
Таблица 8
п
п
1P
'l> ,Vl
2
12,7
63,7
12
2,2
3,1
3
4,3
9,9
13
2.2
3,1
4
3,2
5,8
14
2,2
3,0
5
2,8
4,6
15
2,1
3,0
&
2.6
4,0
16
2,1
2,9
7
2,4
3.7
20
2,1
2,9
8
2,4
3,5
25
2.0
2,8
9
2,3
3,4
30
2,0
2,8
10
2,3
3,2
1,96
2,58
11
2,2
3,2
П. И. Шилов делает вывод, что к таблицам Стьюдеттта следует прибегать при п < 10; В. И. Романовский делает аналогичный вывод для п<С20. Например, придерживаясь рекомендации П. И. Шилова для п > 10, можно прийти к выводу, что распределение Стьюдента мало отличается от нормального. В самом деле, при п — 10, /0,3;, = 2,3 и /0,98 — 3,2; при п -- 20 при тех же значениях Ф (/) находим: /0іЯІ — 2,09 и /0гМ — 2,86. Для нормального распределения, пользуясь таблицей значений интеграла вероятностей Ф (г) прил. 1, находим
Ф (M = 0,95, /, = 1,96,
Ф&) -0,99, t.- 2,58.
При числе испытаний неограниченно большом, как следует из сравнения значений Z1 и t2 с данными строки со табл. 8, коэффициенты совпадают точно, т. е. распределение Стьюдента совпадает с нормальным. Практически же при степенях свободы (я—1) 13 с вероятностью 0,99, т. е. близкой к достоверности, / = 3,012. Следовательно, использование в качестве допусков (например, для предельного значения невязки) 2т и '¦im с вероятностью 0,95 и 0.99 вполне оправдано уже при л>-10.
Равномерное распределение
При обработке результатов наблюдений часто приходится иметь дело со случайными величинами, возможные значения которых равновероятны в некотором конечном интервале. Выше указывалось, что таким распределением обладают, например, ошибки ок-
