Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(очевидно, о3 =- р2 2 ).
Для симметричных распределений, каким является и нормальное, очевидно, что теоретическое значение Sk = 0, так как суммы положительных и отрицательных кубов отклонений при вычислении Ix3 по формуле (131) взаимно компенсируются. Когда Sk окажется больше нуля, кривая будет скошена влево, а когда Sk окажется меньше нуля —вправо (рис. 6).
Для нормального распределения при большом числе испытаний п среднее квадратическое отклонение показателя асимметрии может быть вычислено по эмпирической формуле *
Если будет выполнено условие (при л>50)
I SAI < 3«T5*,
(164) (165)
Формула (164) получена упрощением известной формулы
4
6(п- 1)
(« + I) (я 4-3)
и обеспечивает вычисление 1st с ошибкой < 1,5- Ш~* при a 20.
Таблица 5
И,-
oS:
Вычисление
-і 17,8
316,84
¦5639,9
6994,890
—3,2
10,24
—32,8
6994,679 6994,895
— 14,2 -4.8
201.04 3,24
—2863,3 +5,8
0994. 882
—11.2
125.44
-1404,9
6994,898 «994,885
-!-4.8 —8.2
23,04 67,24
4-110.6 —551,4
6994,883 6994,902
-10.2 -8,8
104,04 77,44
-1061.2 + 681,5
6994.901
I 7.8
00,84
I 474,6
0994.895
-г 1.8
3,24
-r-5,8
6994,894
-0,8
0,64
-! 0,5
6994,896
+ 2,8
7,84
+22,0
0994,883
-10,2
104,04
— 1001,2
6994,895
-11,8
3,24
-i-5,8
6994,902
+8.8
77,44
+681,5
Vl V-I I1J
!'4
—0,2
16 1180,4
16
+ 653
16 № 313
- 0,0
- 74,2 ' -- +40,8
16
a -- 8,6 мм
fit?)
12457-'TT
Г =
Vt
V2
5506 E' = -0,74
V io 2;
E'\<LoE
Sk'^
40.8
638
= -4-0,06
a5*
0.55
20
Sk < aSk
SCD = 6994,8932 S =-0,2 S -= 1186,4 2 =- +653,1
SoSf-- 199 313
(среднее точное ST[)4H = 6994,8931875) Контроль* Z4- —0,2 мм.
• Контрольная сумма ?к в графе dS- табл. 5 легко может быть получена на основании следующих Соображен и і'і: среднее значение 5<.р = .НІШ округлено до единицы 10-' значащей цифры на величину р = STP4H — 5[р, т. е. f, ^ —1,2В' 10_а м. Из простых рассуждений видно . что контрольная сумма IK — р fl. т. с. Ек — — 1,25 м - ItI-1-16 = — 2 X X IU"1 м, или Z„ = — ').2 мм, т. е. полученная в графе Sl)1 -ілгебраическая сумма 16
? 6.9^- = --0,2 мм н контрольная E11 совпали точно. 1
то эмпирическое распределение можно считать приближенно симметричным.
Иногда вместо показателя асимметрии Sk применяют постоянную Пирсона P1, называемую мерой скошенности, равную
11 = S% = -4--
(166)
Нетрудно, установить что
о„ —
24
(167)
5к>0
Sn <0
Рис. 6
a'i = 4SW-
Pi Sk'
Условию (160) аналогично условие
IM^ffp, (168)
Недопустимые отклонения от нуля в большинстве случаев означают наличие в результатах наблюдений односторонне действующих ошибок. Понятие односторонне действующих ошибок доступно без дополнительных пояснений, однако к ним мы еще вернемся ниже.
Пример. При исследовании светодальномера одна и та же линия была измерена 16 раз. Пользуясь данными, помещенными в табл. 5, вычислить центральные моменты pIt рг, р3, щ, дисперсию D (X), среднее квадратаческое отклонение о, эксцесс Е, среднее квадратическое отклонение эксцесса оЕ, асимметрию Sk и среднее квадрэтическое отклонение асимметрии osk. В графе «Вычисление» табл. 5 приведен расчет числовых характеристик.
Как нетрудно видеть из результатов вычислений, эксцесс и асимметрию здесь можно считать несущественными, а эмпирическое распределение — близким к нормальному.
§ 16. ОБОСНОВАНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
До сих пор речь шла о законе нормального распределения вероятностей преимущественно для числа появлений события при многократных испытаниях, точнее — для отклонений этого числа от его вероятиейшего значения. В качестве аргумента функции распределения было принято значение
X =
к — пр V'npq
(77)
однако при наблюдениях каких-либо иных величин (а не числа появлений события, в частности) аргумент х по формуле (77) опре-
делить нельзя. Найдем формулу, позволяющую определять аргумент х функции нормального распределения для любой многократно наблюденной случайной величины.
В основу вывода искомой формулы возьмем формулу (80)
где
-у2л
к — пр Л 1
л' = —7=- и Ax--—T=-
V Щ1 q ¦^f npq
Перепишем формулу (80) в виде
Рх = ~^е ? dx, (169)
-у2 л
где Px — вероятность значении v. Так как
dx
V "PQ
то с увеличением числа испытаний п вероятность Px будет неограниченно уменьшаться.
Представим теперЕї аргумент х в виде
к
¦ — P
^ ^_ к — пр я
Vv
Обозначим
--р=2: V^7 = V (170)
Тогда можем написать
*-=ftW2Y. dx = K*J2dt. (171)
Подставляя значение л: и dv из (171) в формулу (169), получим
и в интегральной форме
Рї-Л^їе ^dz. (173)
В качестве аргумента функции распределения, выраженной формулами (172) к (173), служит
*
* =--р,
п
т. е. отклонение значения случайной величины (относительной частоты) от ее математического ожидании ¦— вероятности
M
•(f)-'-
