Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Номер сер и JS
Ч исли наблюден H і'і в серии
Расстояние, намеренное
свв-1 п,
KM
Средняя ошибка одного приема, вычисленная как среднее арифметическое из абсолютных значение ошибок в серии Д. CM
1
30
0,4
21
2
106
0,8
31
3
81
1,0
35
4
131
2,7
52
5
36
4,5
40
Выше рассмотрен пример, когда между средними значениями двух переменных величин существует статистическая связь. Задача исследователя сводится к тому, чтобы установить тесноту связи, т. е. оценить при помощи так называемого коэффициента корреляции степень близости статистической связи к функциональной и установить форму этой связи, выражаемую формулой, позволяющей предвычислять средние значения одной переменной по заданным значениям другой. Различают линейные и нелинейные статистические связи; в дальнейшем будут рассмотрены только линейные связи (линейная корреляция).
§ 19. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Коэффициент корреляции является мерой тесноты линейной корреляции и вычисляется по формуле
п
у Ui — х) (уі — у)
г= _^ (221)
1O1Oy
где
I=I
= kxy — корреляционный момент,
¦ Xn
Уі
¦ ¦ Уп.
различные значения переменных хі и (/;, полученные из наблюдений,
1 ч
X =--
1=1
— среднее арифметическое величины х; у — — — —--
Ii л
среднее арифметическое величины у; O1 — среднее квадратическое отклонение х; о„ — среднее квадратическое отклонение у\ п —-число наблюдений (значений х{, yt). Величины аг и о;,. вычисляются по формулам:
}
1=1
- i/
Ц(у,-уГ
(222) (223)
Таким образом, если предварительные графические построения покажут, что связь между х и у близка к линейной (точки на графике располагаются в прямолинейной области), то вычисляют средние арифметические х и у, разности я,-—х и (/,-—у и по ним, пользуясь формулами (222) и (223), средние квадратические отклонения Ox и Oy (положительные значения корней) и, наконец, по формуле (221) вычисляют коэффициент корреляции.
§ 20. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ
Рассмотрим основные свойства коэффициента корреляции.
1. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от — 1 до ¦;-1,Т- e.-Ur<T-l.
2. Когда коэффициент корреляции равен |- 1 или — 1, между X и у существуют точные прямолинейные связи, т. е.
у = ах-\-с, X by — d.
В случае, когда г со знаком <Н », с увеличением или уменьшением А' увеличивается или уменьшается у. Когда г со знаком «—», с увеличением х уменьшается (/ и с уменьшением х увеличивается у.
3. Если г — 0, между х и у прямолинейной корреляции не существует (нелинейная связь может существовать).
4. Чем ближе коэффициент корреляции г к + 1 или — 1, тем ближе корреляция между переменными X и у к функциональной связи; чем ближе коэффициент корреляции к 0, тем соответственно менее связаны между собой переменные X и у.
Естественно, возникает вопрос: с какой надежностью вычисляется само значение коэффициента корреляции и при кзких условиях можно считать связь существующей, и наоборот. Возникает, таким образом, необходимость оценки надежности коэффициента корреляции.
При числе наблюдений п > 50 В. И. Романовский * рекомендует для среднего квадратического отклонения коэффициента корреляции применять формулу
?,?-!^-. (224) V п
Связь считается установленной, если выполняется условие
|г|>Зог. (225)
Наименьшая величина коэффициента корреляции Vmin, удовлетворяющего условию (225), в зависимости от числа наблюдении п может быть вычислена по формуле
У" -- 36 У" ,oofiv
rmin =--—---- ЩЬ)
Пример. Пусть при вычислениях коэффициент корреляции оказался равным г = H- 0,26; я = 394.
Оценим точность коэффициента корреляции
1 - ^fL _.0,05, У 394
С вероятностью 0,997 доверительный интервал дли ґ Судет
г ± гс, = 0,20 + 3-0,05; +0,IUr^ + 0,41. (227)
Вычислим
Узо.4 + 36 394
'mm—--'---——- ~-— — 0,1/.
6
Нижняя гри ніша коэффициента корреляции г а формуле (227) акача-,19CIi мені.шг минимального значения (0.11 Cl)1I?); следовательно, .чинейл\ю корреляцию не-льзя считать установленной, хотя )СЛі'пііе формулы (225) яыполыет (0,26 > 0,15).
Для оценки надежности коэффициента корреляции] при а;<50 пользуются специальной функцией, так называемым к р пте-рием Фишера (см. 15], стр. 6?)
г - -l|ln<l+r)~ln(l— г)}, (228)
которая подчиняется закону нормального распределения. Среднее
* Романовский В. И. Применение математической статистики в опытном деле. M.—Л., Гостехиздат, 1947.
квадратическое отклонение величины г вычисляется по формуле
о,- 1___¦ (229)
v» — ?
Значения величин г по вычисленным из опыта значениям коэффициента корреляции 2 могут быть вычислены непосредственно по формуле или по таблицам, приведенным в прил. 6.
Пример. В табл 1(1 помещены резуль^ты испытания CBB-I в 1955 т. Определить коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи ме-жд> измеренными длинами линий D и их ошибками (г«аіі), її оценить точность коэффициента корреляции, используя критерий Фишера.
Таблица IO
