МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Начиная с 1974 г, серия нелинейных кодов была разработана в Институте перспективных исследований в Прпистоне под руководством М. Розетгблюта. Общей чертой этих кодов является предположение о ? = 0, что использовалось при разложении по обратной величине аспектного отношения. В большинстве этих кодов уравнения дополнительно упрощены за счет рассмотрения прямого цилиндрически-симметричного равновесия и предположения о том, что возмущение имеет винтовую симметрию в течение всей нелинейной эволюции. Предположение о винтовой симметрии для какой-либо одной заданной моды правомерно, однако оно исключает изучение взаимодействия нескольких мод с разными шагами винта. Указанные предположения приводят к системе уравнений для несжимаемого течения с фиксированным продольным магнитным полем. Кроме уменьшения числа иерс-
'Д38
менных и уравнений эти предположения позволяют исключить временные масштабы быстрых мапштозвуковых и альфвеиов-ских волн и тем самым сохранить численную устойчивость и точность при существенно более длинных шагах по времени.
Некоторые результаты группы Розенблюта представлены в ^ 9.2, а их результаты по резистивиым неустойчнвостям приведены в гл. 10. Штраус [6] распространил этот метод с ? = 0 на вытянутые сечения, в которых хорошо развивается внутренняя винтовая мода. Предположение о винтовой симметрии в цилиндре круглого сечения использовали также Н. И. Герлах и Н. М. Зуева [7] при изучении влияния сопротивления на МГД-не-устойлквости с конечным ? и конечным аспектным отношением. ^Из-за более высокой точности, которую можно достичь в расчетах с такими укороченными системами уравнений — особенно когда за счет предположения о винтовой симметрии задача сводится к двумерной, — это направление исследований быстро доказало свою плодотворность.
Для изучения неустойчивостей с закрепленной границей Хикс, Бутеп н Бейтман в Ок-Риджс разработали простой нелинейный код, который использует явную конечно-разностную схему с перешагиванием на декартовой сетке в цилиндре или торе с прямоугольным сечением. Некоторые результаты будут описаны в § 9.3, ВCCCOiT и Сайке [9] в Калэме добавили в аналогичный код вязкость, сопротивление, омический нагрев и диффузию и смоделировали релаксационные колебания, которые выглядели аналогично пилообразным колебаниям, наблюдаемым в экспериментах на токамаках с помощью мягкого рентгеновского излучения. Ю. Н. Днестровский с соавторами в Москве выдвинули аналогичную версию этого кода и изучали связь мод т=1 и т = 2 в прямом цилиндре при их нелинейной эволюции. Усложненная серия нелинейных кодов с учетом эффектов конечного ?, сопротивления, вязкости и т. д. была разработана в Ливер морс под руководством Киллина.
Теория бифуркаций. Основная идея состоит в поиске нового деформированного равновесия в окрестности первоначального для параметров, близких к границе устойчивости. Простой пример бифуркации обсуждался уже в § 4.5. Здесь нас интересует равновесие в прямом цилиндре или осесимметричном торе, ко-торое деформируется в новое винтовое равновесие. Обычно анализ основан па разложении потенциальной энергии или уравнения движения до членов высокого порядка по смещению. Родоначальником такого метода был Фридрихе [10], рассмотревший коротковолновые винтовые неустойчивости с использованием модели поверхностного тока. Аналогичный анализ был распространен на длинноволновые неустойчивости в работе PTe [11]. Резерфорд, Фюрт и Розепблют [12] при исследовании механизма неустойчивости срыва нашли бифуркацию равновесия как для винтовой, так и для тиринг-моды в случае прямого цилиндра с
139
распределенным током и вакуумной областью. Б. Б. Кадомцев [13] и Б. Б. Кадомцев и О, П, Погуце [14] предложили несколько простых моделей для характерных винтообразных равновесий и равновесий с волокнистой структурой, которые при некоторых условиях появляются в результате винтовых неустойчивостей, как это будет описано в следующем разделе.
Сингулярный метод возмущений. Если говорить о внутренней винтовой моде т = 1, исследованной Розепблютом, Дагазьяном и Резерфордом [15], или о нелинейной скорости роста тиринг-мо-ды, исследованной Резерфордом [1? то нелинейными членами можно пренебречь всюду, за исключением тонкого пограничного слоя около рациональной поверхности. Нелинейное решение в этом пограничном слое затем сшивается с линейным решением в-остальной области.
Конвективные ячейки. Классическим примером неустойчивости, приводящей к стационарным конвективным ячейкам, является возникновение конвекции Бенарда, когда жидкость нагревается снизу. Это явление подробно было описано Чандресекаром [17], Есть доказательства, что конвективные ячейки дают большой вклад в потери частиц в некоторых плазменных установках с малым широм (см., например, работу Харриса [21] и несколько статей, представленных на Новосибирскую конференцию-' МАГАТЭ, 1968 г.). Из недавних теоретических работ этому посвящены работы Вобига [18], а также Машке и Париса [19].
Сильно развитая турбулентность. Было очень мало попыток рассмотреть макроскопическое турбулентное состояние, в котором нелинейным образом взаимодействует широкий спект МГД-мод. Полуэмпирический подход был в общих чертах развит Б. Б. Кадомцевым и О. П, Погуце [22]. Недавно Монтгомери с соавт. [24, 25] применили метод, развитый Крейчнаном \23], к двумерной МГД-модели. В то время как в трехмерной ситуации энергия всегда переходит в коротковолновые масштабы, они нашли,, что в двумерной геометрии энергия может переходить как в более длинные, так и в более короткие масштабы. Переход энергии в длинноволновой спектр по прошествии достаточного времени создает вихревые дорожки. Плазма с малым широм в сильном магнитном поле может вести себя как в двумерной ситуации.
