МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь V5 надо интерпретировать как объем невозмущеппой .магнитной поверхности, проходящей через сепаратрису в точке ее максимальной ширины. Для частного случая круглого цилиндра получаем
Vs-V0- ~ г.L (г,- r0)a ~ \ vL2rs , В,л O + Вг г = 4^riA0 ^¦ ... + 2^bf sin (тЬ - я?) г;
(ЮЛ Л 4)
где г, — радиус резонансной поверхности; т — число островов в малом сечении цилиндра. Для более широких островов необходимо принимать во внимание радиальную зависимость В\ и ши-ра на ширине острова.
Вопрос 10,1.1 [4]. Предположим, что задано много гармоник возмущения радиального поля, соответствующих нескольким резонансным поверхностям внутри плазмы. Когда больше возможностей для перекрытия островов —при малом или при большой шире? Считается, что перекрытие островоп усиливает процессы переноса поперек плазмы.
В1
W ^4г 1 г
тВи
rq* (г)
154
Вопрос 10,1.2, Каково возмущение плотности тока внутри магнитного острова? Возможно ли образование островов в вакуумном магнитном поле?
Вопрос 10.1.3. Сколько раз внутренняя силовая линия магпииюго острова должна обойти вокруг тора, прежде чем она продвинется с ппуїренней стороны острова на внешнюю? Какова величина ц относительно собственной магнитной оси острова?
Вопрос 10.1.4. Все ли внутренние силовые линии магнитною острова имеют то же значение q относительно главной магнитной оси тора? Если так, то рационально ли это значение q?
Вопрос 10.1.5. Какая конфигурация обладает меньшей анергией магнитного поля — слой без островов, как на рис. 10.2, г, или слой с островами, как tra рис, 10.2,5? Предположите, чъи в1х уменьшается при удалении от х = {) r обращается в нуль при ,V= а1. Предположите: также, что возмущение полоидального поля b\j таково, что поток между центром острова и стенкой x = w фиксирован.
§ 10.2. НАРАСТАНИЕ РЕЗИСТИВНОЙ ТИРИНГ-МОДЫ
Неустойчивость тиринг-моды— это проявление тенденции плазмы разорваться на магнитные острова, чтобы уменьшить магнитную энергию в областях за магнитными островами. При росте островов магнитные поверхности как бы засасываются из областей снизу и сверху острова, сближаются в Jt-точке, а затем разрываются и образуют замкнутые поверхности внутри островов. Структура возмущения радиального магнитного поля, которое ответственно за образование островов, должна определяться из решения задачи на собственные значения для уравнений идеальной магнитной гидродинамики в областях вне островов. Все остальное происходит в тонком пограничном слое, окружающем острова. Пограничный слой — это область, где рост ширины острова определяется балансом между вынуждающими силами, с одной стороны, и диффузией поля и инерционными эффектами, с другой.
В этом параграфе дан очень простой вывод инкремента рези-стивной тиринг-моды в геометрии плоского слоя. Если рассматривать слой как аппроксимацию цилиндра или тора, как показано на рис, 10.2, а — в, то этот вывод применим для тнринг-мод с т>2. Мода т=1 является выделенной и будет рассмотрена в § 10.3. Для мод с т>2 будет показано, что рост остается экспоненциальным только до тех пор, пока ширина острова много | меньше толщины пограничного слоя. После того как ширина острова становится сравнимой с толщиной пограничного слоя, она из-за нелинейных эффектов начинает расти как линейная функция времени. И, наконец, в зависимости от профиля проводимости ширина острова насыщается на уровне, сравнимом с шириной плазмы.
Для оценки инкремента линейной тиринг-моды рассмотрим конфигурацию плоского слоя и упрошенную систему резистивных МГД-\равнений. Равновесие характеризуется полоидальный полем В*, которое определяется выражением (10.1.1), как описано в предыдущем разделе. Как и раньше, В* = Q при л = 0, где
155
X соответствует радиальной координате, перпендикулярной к равновесным магнитным поверхностям.
Нам будет нужна только радиальная компонента закона Фарадея
wB*=~wE]- <10-2Л>
Производная по г во всех уравнениях исчезает, так как все величины предполагаются однородными вдоль оси магнитных островов. Электрическое поле в направлении г равно
El= -vi В*+тр Jl, (10.2.2)
где ц°—удельное сопротивление, предполагаемое здесь однородным (так или иначе оно будет важно только в тонком пограничном слое). В принятой упрощенной модели будет рассмотрена только одно слагаемое, связанное с вынуждающей силой,
P0 -Ir »i = -ЛВг (Ю.2.3>
а все движения предполагаются несжимаемыми;
V-V1^-o. (10.2.4)
Вопрос 10.2.1. Совместимы ли уравнения (10,2.4) и (10.2,3)? Наконец, будем предполагать, что скорости и возмущения' магнитного поля вдоль оси островов равны нулю:
vi = 0, (10.2.5)
При более детальном анализе оказывается, что большая часть предположений является хорошим приближением. Здесь же они рассматриваются в качестве упрощенной модели.
Пусть возмущенные величины В:х и V* меняются как
sinkyехр(уі) в то время как Е\л J\t v\y Bly пропорциональны
coskyсхр(уг), как показано на рис. 10.3. Из у-В = 0 следует, что
й- B\ = kB\ (10.2.6>
, Рис. 10,3, Мапитюе поле, плотность продольного тока, картина течения в гиринг-моде и сепаратриса образовавшегося острова
