Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
= № (3-29>
Z(Vz) = Zz /2 + 180° (3.30)
Например, выражение для извлечения квадратного корня из j будет выглядеть следующим образом:
j| = l (3.31)
Z(VJ) = 45° или 225° (3.32)
В прямоугольных координатах это выражение могло быть записано так:
VI = l/V2 + j/V2 или-1/V2-J/V2. (3.33)
3.2. Экспоненциальная функция
Если в качестве аргумента экспоненциальной функции типа ехр(х) использовать комплексные числа, то оказывается, что ее связь с тригонометрическими функциями синуса и косинуса выражается достаточно простыми математическими соотношениями. Прежде всего следует остановиться на основном определении экспоненциальной функции. При этом подчеркнем два аспекта. Первый заключается в том, что производная от экспоненциальной функции является самой этой функцией:
dexp(x)
—-f— = ехр(х) ах
(3.34)
3.2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ YW
Для того чтобы полностью задать функцию, необходимо установить ее значение в какой-нибудь точке. По определению:
ехр(О) = 1
(3.35)
Особый интерес представляет экспоненциальная функция мнимого числа j8. Производная в этом случае выражается следующим образом:
dexp(jB)
d9
jexp(j6)
(3.36)
exp (j0)
Как видно из полученного уравнения, производная имеет точно такую же величину, что и экспоненциальная функция, но угол отличается на 9Q°. Другими словами, если рассмотреть экспоненциальную функцию на координатной плоскости и начать со значения 0 = 0, где величина экспоненты равна единице, то мы сможем наблюдать движение вектора в сторону возрастания 0. Интересно, что график функции описывается стержнем, вращающимся вокруг какой-то точки. То есть график функции представляет собой окружность (рис. 3.2). Более того, производная всегда имеет значение 1. Таким образом, геометрическим местом точек функции exp(jo) является единичная окружность с центром, распо-ложенным в начале координат.
Рассматривая рис. 3.2 и используя тригонометрические выражения, можно заключить, что действительная и мнимая части exp(jo) могут быть выражены через coso и sino:
Рік. 3.2. График функции ехр('|8) при увеличении 6 от 0
exp(j0) = coso + jsino
(3.37)
Данное выражение получило название формулы Эйлера и является одним из самых элегантных математических соотношений. Формулу Эйлера можно применить для записи синуса и косинуса с использованием экспоненциальных функций:
cos
exp(j0) + exp(-jo)
(3.38)
sin[0]
_ exp(JO)-exp(-j0) 2j
(3.39)
Если вам эти формулы не известны, то для лучшего усвоения материала самостоятельно произведите подстановку формулы Эйлера в эти выражения.
[W] 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
3.3. Векторы
Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся ранее выведенными соотношениями, которые связывают токи и напряжения в электрической цепи, содержащей резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности:
В уравнениях 3.41 и 3.42 штрих означает производную. Однако на практике это не очень удобно. В большинстве случаев радиосигналы могут быть описаны ко-синусоидальной функцией1, которая имеет простую производную, что не вызывает трудностей при рассмотрении зависимости между ней и экспоненциальной функцией.
Выражение для напряжения, изменяющегося по косинусоидальному закону (или синусоидальному), U(O можно записать в виде:
где А - амплитуда (или пиковое значение), измеряемая в вольтах; w (греческая буква «омега») - круговая частота, выраженная в радианах в секунду; 8 определяет угловое смещение (сдвиг) синусоиды, то есть фазу, выражаемую в радианах. Частота, измеряемая в радианах в секунду, отличается от частоты, выражаемой числом колебаний в секунду (в герцах). Соотношение между ними определяется как:
W = Inf (3.44)
где частота w выражена в радианах в секунду, а частота f - в герцах. Соотношение для переменного тока I(t) той же частоты можно записать в виде:
' I(t) = Bcos((0t + ф) (3.45)
где ф (греческая буква «фи») означает фазу тока. Если фаза тока ф отличается от фазы напряжения, то ток может как опережать напряжение по фазе, так и отставать от него (рис. 3.3).
Если ф > 8, то принято говорить, что ток опережает напряжение (по фазе), если же ф < 8 - ток отстает от напряжения.
Если к конденсатору С приложено напряжение U(t) = Acos((Ot + 8), то ток I(t) можно записать в виде:
I(t) = CU'(t) = -CA0)sin((ot + 0) = CA(OCOs(Wt + 8 + я I 2) (3.46)
То есть ток, протекающий через конденсатор, опережает по фазе напряжение на я / 2 (на 90°). Для катушки индуктивности ситуация противоположная - ток отстает от напряжения. Очень любопытный результат может быть получен, если использовать формулу Эйлера для того, чтобы выразить синусоидальную функцию
В отечественной литературе традиционно используется понятие «синусоидальная функция», что в принципе одно и то же. - Прим. науч. ред.
U(t) = RI(O U(O = LT(I) КО = CTJ(O
(3.40)
(3.41)
(3.42)
U(t) = AcOs(Wt + 8)
(3.43)
3.3. ВЕКТОРЫ [~79~]
в виде действительной части экспоненциальной функции и повторить уже сделанные преобразования. Запишем:
U(t) = Re[Aexp(jwt+j6)] (3.47)
Ток можно представить в виде:
d
I(t) = CU'(O = Re С—[А ехр(jcot + j8)]
