Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Электротехника -> Рутледж Д. -> "Энциклопедия практической электроники" -> 33

Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.

Рутледж Д. Энциклопедия практической электроники — M.: ДМК Пресс, 2002. — 528 c.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка): enciklopediya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 193 >> Следующая

3.1. Комплексные числа
Понятие комплексного числа в курсах математики вводится, при рассмотрении выражения для мнимой единицы і = 4-І. В электротехнике и радиоэлектронике вместо символа «і» используют символ «j», оставляя традиционный символ «і», как более привычный, для обозначения тока. Такое разделение (і - в математических и физических выкладках, j - в электротехнике) возникло потому, что в разных областях науки следуют различным соглашениям по использованию знака величин. Как правило,
j=-i (3.1)
С точки зрения электротехники предпочтительнее говорить о том, что комплексное число представляется в виде пары чисел, первое из которых называется действительной, а второе мнимой частью числа. В этом смысле комплексное число сходно с вектором в двумерном пространстве и может быть изображено в виде вектора на плоскости (рис. 3.1а), называемой плоскостью комплексных чисел.
f"74l 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Ось мнимых чисел
Ось мнимых чисел

* z=x+jy
/Л 0
Ось действительных / чисел / Ось действительных чисел
а) б)
Рис 3.1. Представление комплексного числа z на плоскости в виде вектора, направленного из точки начала координат в точку z=х + jy (а). Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня из величины](б)
Горизонтальная ось называется осью действительных чисел и используется для действительной части, а вертикальная - для мнимой части комплексного числа. Комплексное число может быть выражено в различных видах в зависимости от того, как в том или ином конкретном случае удобнее выполнять математические вычисления. Так, комплексное число z может быть представлено в виде:
z = x+Jy (3.2)
где X - реальная, а у - мнимая часть комплексного числа. Комплексное сопряженное число z* определяется по формуле:
z* = x-jy (3.3)
Тот факт, что X является действительной, а у - мнимой частями комплексного числа, часто отображается в следующем виде:
Re(z) = X (3.4)
Im(z) = у (3.5)
При сложении или вычитании комплексных чисел складываются или вычитаются почленно действительные и мнимые части, наподобие того, как это происходит при сложении векторов.
Комплексное число также можно представить в виде его радиус-вектора и угла (фазы). Радиус-вектор определяется как расстояние от начала координат до точки z на плоскости комплексных чисел. Часто эта величина обозначается буквой «г» и вычисляется по теореме Пифагора:
г = уІх2+у2 (3.6)
Фаза определяется углом между осью действительных чисел и вектором и обозначается как 0 (греческая буква тэта).
Q = arctg(y / х) (3.7)
3.1- КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [W]
Для выражения значения угла используются как градусы, так и радианы. Иногда применяется сокращенная форма записи комплексного числа:
z = rZ6 (3.8)
Мнимая единица j сама по себе может быть представлена в виде:
j = 1^90° (3.9)
а число (-1) будет выглядеть как:
-1 = 1Z1800 (3.10)
Если ввести понятие полярных координат и воспользоваться известными тригонометрическими соотношениями, то действительную и мнимую части комплексного числа можно представить через соотношение модуля и угла в следующем виде:
X = rcoso (3.11)
y = rsino (3.12)
Можно показать, что г и 0 - это модуль и фаза комплексного числа z, и представить его в следующем виде:
N = r (3.13)
Zz = O (3.14)
Основная сложность заключается в умножении и делении комплексных чисел. При выполнении этих операций представление комплексного числа в виде модуля и угла значительно упрощает задачу. Если имеется два комплексных числа s и t, то модуль и фаза их произведения будут иметь вид:
M = |sHt| (3.15)
Z(St) = Zs+Zt (3.16)
Из этих выражений следует, что модуль произведения двух комплексных чисел есть произведение их модулей, а угол является суммой их углов. Например, произведение (-I)hz определяется как:
N = 1-И = |z| (3.17)
Z(-z) = Zz + 180° (3.18)
Аналогично частное от деления s/t будет выглядеть как:
|s/t| = |s|/|t| (3.19)
Z(s / t) = Zs - Zt (3.20)
Полученный результат можно описать следующим образом: модуль частного от деления равен частному от деления модулей, а результирующий угол - разности углов комплексных чисел. Как частный случай, результат от деления 1 / s записывается следующим образом:
|1 / Sj = (3.21)
Z(I/S) =-Zs . (3.22)
Г"76~1 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
На основании изложенного можно вывести формулы для квадрата комплексного числа и квадратного корня из него. Выражение для z2 можно записать в виде:
Iz2I = M2 (3.23)
Z(z2) = 2Zz (3.24)
Например, выражение для j2 будет иметь вид:
IJ2I = 1 (3.25)
ZQ2) = 180° (3.26)
или же j2 = -1 (рис. 3.16). Так как операция извлечения квадратного корня обрат-на операции возведения в квадрат, можно записать следующие выражения:
H = TR (3.27)
Z(VI) = Zz/2 % (3.28)
Как и при обычной операции извлечения квадратного корня из положительног го числа, существует два корня, которые отличаются своими знаками. Данная ситуация показана на рис. 3.16. Второй корень может быть записан в виде:
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed