Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
Ж] 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
а) б)
Рис. 3.7. Схема параллельного резонансного контура (а) и его характеристика (б)
в ней для получения высокого значения Q реактивное сопротивление должно быть небольшим по сравнению с активным. В качестве примера рассмотрим схему с источником тока, в которой параллельно включены катушка индуктивности, конденсатор и сопротивление нагрузки (рис. 3.7а). Проводимый анализ практически не отличается от случая для последовательного резонанса, за исключением того, что вместо полных сопротивлений используются полные проводимости. Выходное напряжение можно записать в виде:
U = I/Y . " (3.101)
а полную проводимость нагрузки Y представить как:
Y = G+jB = G+jcoC + 1 /(jcuL) (3.102)
Сначала рассмотрим реактивную проводимость В, которая является мнимой частью полной проводимости:
В = соС - 1 / (coL) (3.103)
На низких частотах преобладает индуктивная составляющая^ в силу чего реактивная проводимость велика и имеет отрицательное значение. На высоких частотах доминирует емкостная составляющая, поэтому реактивная проводимость тоже велика, но имеет положительное значение. Реактивная проводимость будет равна нулю на резонансной частоте со0, определяемой выражением:
со„ =
1
(3.104)
Полученная формула полностью совпадает с формулой, выведенной для схемы с последовательным резонансом. На резонансной частоте индуктивная и емкостная проводимости полностью компенсируют друг друга, благодаря чему выходное напряжение достигает максимального значения. Для него можно записать:
Um = I/G
(3.105)
3.8. КОМПЛЕКСНАЯ МОЩНОСТЬ (89
В области частот, достаточно удаленной от резонансной, реактивная проводимость возрастает, а напряжение снижается (рис. 3.76). Порядок математических вычислений для определения как верхней, так и нижней частоты, на которой происходит спад уровня мощности наполовину, аналогичен случаю для последовательного резонанса. Частоты половинного снижения мощности соответствуют условию, при котором реактивная проводимость равна активной. Это позволяет представить частоты половинного спада мощности в виде:
O)11 / O)0 - (00/ (0U = +G / ((O0C) (3.106)
(о,/ (O0 - (O0/ (о, - -G / ((O0C) (3.107)
Добротность Q для случая параллельного резонанса определяется как отношение реактивной проводимости к активной:
^ Чс 1
Qp =-7^ = 777F (ЗЛ08)
G (O0LG
Индекс р показывает, что рассматривается случай параллельного резонанса. Данное соотношение можно переписать в следующем виде:
Qp=-^V = O)0RC (3.109)
O)0L
приняв, что R = 1 / G. Данное выражение является обратным по отношению к формуле для последовательного резонанса (уравнение 3.90). Из выражения 3.109 следует, что для получения высокого значения Q в схеме с параллельным резонансом необходимо небольшое реактивное сопротивление - совершенно противоположная ситуация по отношению к случаю последовательного резонанса. Однако формула для ширины полосы пропускания совершенно аналогична выражению 3.96 для цепи с последовательным резонансом:
Q =i (3.110)
3.8. Комплексная мощность
Мгновенная мощность определяется как:
P(t) = U(t)I(t) (3.111)
В этом выражении мощность является функцией времени. Это мощность, которая рассеивается в виде тепловой энергии на резисторах или излучается антенной, а также мощность, распределенная в схеме между конденсаторами и катушками ин-дуктивностей. Ранее было получено выражение 2.9 для"среднего значения мощности, выделяющейся на резисторе при прохождении тока синусоидальной формы:
Pa = I2DR/2 (3.112)
90І 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
где 1р - амплитудное значение тока. В то же время мощность можно выразить с использованием векторного представления. Для этого представим комплексную мощность P в следующем виде:
P = UI*/2 (3.113)
где звездочка (*) обозначает комплексную сопряженную величину. Если произвести замену, используя выражения для полного сопротивления цепи U = ZI, получим:
P = ZII*/2 (3.114)
Переписав это выражение с применением модуля |1|, получим:
P = Z|I|2/2 (3.115)
Для анализа данного выражения необходимо представить Z в виде активного R и реактивного X сопротивлений:
P = R|I|2/2+jX|I|2/2 (3.116)
Первое слагаемое в правой части уравнения является действительной величиной, равной среднему значению активной мощности (см. уравнение 3.112). Это позволяет записать:
P8 = Re(P)= Re(UI*/2) (3.117)
Второе слагаемое является мнимым. Оно описывает реактивную мощность и относится к энергии, которая накоплена в конденсаторах и катушках индуктивности. Для лучшего понимания этого явления можно воспользоваться схемой, в которой последовательно включены катушка индуктивности и конденсатор. Для данной цепи реактивную мощность Рг представим в виде:
_ _ coL 1112 |1|2
P = Im(P) =-—---—— = со
2 2соС
L|I|2 C|UC|
2 N
(3.118)
где Uc - напряжение на конденсаторе. Если записать его иначе, получим:
Pr = CO(E1-EJ (3.119)
где E1 - максимальное значение энергии, накопленной в катушке индуктивности, а Ес - максимальное значение энергии, накопленной в конденсаторе. Соотношение было выведено для последовательного включения резистора, конденсатора и катушки индуктивности, но вполне справедливо и для более сложных цепей. Реактивная мощность пропорциональна разности между максимальными значениями магнитной и электрической энергии. При резонансе реактивная энергия равна нулю, следовательно, максимальное значение электрической энергии равно максимальному значению магнитной энергии.
