Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
Ш'=І (3-83)
На резонансной частоте индуктивное и емкостное реактивные сопротивления взаимно компенсируют друг друга, и выражение 3.80 приобретает вид:
U = U. (3.84)
то есть выходное напряжение равно входному.
Для частот, отличающихся от резонансной, реактивное сопротивление не будет равно нулю, и выходное напряжение будет снижаться (рис. 3.66). Для частоты, при которой абсолютная величина реактивного сопротивления равна величине активного, выходное напряжение имеет вид:
|U|=A=S (3-85)
Таким образом, при значениях верхней O)11 и нижней O)1 частот, соответствующих условию снижения мощности в два раза, абсолютное значение реактивной составляющей полного сопротивления цепи равно значению активной составляющей этого же сопротивления. Выражения для частот, удовлетворяющих данному условию, можно получить, предположив, что X = ±R:
O)11L - 1 / (o)uC) = +R (3.86)
O)1L - 1 / ((O1C) = -R (3.87)
Анализ этих формул - сложная задача, однако он необходим, так как получаемый результат имеет большое значение. Разделим приведенные выше выражения на значение индуктивной резонансной частоты O)0L и произведем подстановку 1 / (O)02L) для С. В результате можно записать:
O)11/ O)0 - O)0/ O)11 = +R / ((O0L) (3.88)
O)1 / O)0 - O)0/ O)1 = -R / ((O0L) (3.89)
"в6~1 3. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Отношение величины реактивного сопротивления к величине активного в последовательной цепи называется добротностью (Q):
Q = -2- =- (3.90)
R W0CR v ;
Позже будет показано, что с физической точки зрения уравнение 3.90 определяет соотношение энергии, накопленной в реактивных элементах, к тем потерям энергии, которые происходят в активных элементах - резисторах. Добротность можно выражать через индуктивное или емкостное сопротивление, но важно понимать, что в резонансной цепи данное реактивное сопротивление не является полным реактивным сопротивлением цепи, которое рассматривалось ранее, а берется либо индуктивная, либо емкостная часть. Использование понятия добротности позволяет выразить взаимосвязь между Q и шириной полосы пропускания весьма простым способом:
(0„/O)0-O)0/O)11 =+1/Q (3.91)
(0,/0)0-0),,/0), = -1/Q (3.92)
При более внимательном рассмотрении этих формул видно, что соотношение частот O)11 и (0, должно выражаться как:
(0„/O)0 = (00/(О, (3.93)
Полученное уравнение можно представить в следующем виде:
vo)1O)11 = O)0 (3.94)
Другими словами, резонансная частота является средним геометрическим частот, соответствующих верхней и нижней частотам при спаде мощности в два раза. Подставляя уравнение 3.93 в уравнение 3.91 и пропуская ряд промежуточных преобразований, которые можно выполнить самостоятельно, получим следующее выражение: у
O)11/O)0-О),/O)0= 1/Q (3.95)
Если данной формулой пользоваться при практических измерениях, то ее необходимо преобразовать к более удобному виду, заменив Круговую частоту оз на циклическую f, для чего необходимо разделить O)5 на 2хс:
' O)n (Оо fn
Q =-— = 7- = -77 (3.96)
O)11 - (0, A(O Af
где Aw и Af - ширина полосы пропускания на уровне половинной мощности, выраженной соответственно в радианах и герцах. Полученное соотношение можно объяснить так: добротность Q является отношением резонансной частоты к ширине полосы пропускания. Из этого выражения следует и практический вывод: например, если необходим селективный фильтр с узкой полосой пропускания, то потребуется высокое значение добротности Q. Для резонансных цепей, собранных из конденсаторов и катушек индуктивности, значение добротности достаточно
3.7. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ РЕЗОНАНС [вГ]
низкое (как правило, не превышает 100). Несколько позже будут рассмотрены кварцевые резонаторы, для которых значение добротности Q5 находится в диапазоне от 50 ООО до 100 000, что позволяет создавать фильтры с очень высокой селективностью.
Рассмотрим поведение схемы в полосе затухания, то есть в области, достаточно удаленной от резонансной частоты. На высоких частотах, когда coL » 1 / (соС) и O)L » R, в схеме преобладает индуктивное сопротивление, поэтому приближенно полное сопротивление цепи можно выразить как:
Z «JO)L (3.97)
Выходное напряжение будет иметь вид:
U =
( R ^
JO)L
Ц =— (3.98)
JO)T,
где T1 = L / R - индуктивная постоянная времени. Последнее выражение по своей форме напоминает уравнение для напряжения в области спада частотной характеристики, которое рассматривалось в разделе, посвященном фильтру нижних частот (уравнение 3.77).
При низких частотах, когда 1/юС » O)L и 1/юС » R, доминирует емкостное сопротивление, и полное сопротивление цепи определяется.как:
Z«l/jo)C (3.99)
Выходное напряжение в этом случае вычисляется следующим образом:
U = jwRCUi = J(Ot6U1 (3.100)
где тс = RC - емкостная постоянная времени. Данное уравнение напоминает выражение, полученное для зависимости напряжения спада фильтра верхних частот (уравнение 3.79). Уравнения 3.98 и 3.100 могут быть использованы для описания коэффициента ослабления фильтров на различных частотах в полосе затухания.
3.7. Параллельный резонанс
Как уже упоминалось в предыдущем разделе, для получения узкой полосы пропускания необходимо высокое значение добротности. Для высокого значения Q в схеме с последовательным резонансом реактивное сопротивление должно быть значительно больше активного. Это позволит выгодно использовать схемы с последовательным резонансом в тех случаях, когда активное сопротивление невелико, например при подключении коаксиального кабеля от антенны с волновым сопротивлением 50 Ом ко входу приемника. Однако, если величина активного сопротивления значительна, то изготовить схему с последовательным резонансом, обладающую высоким значением Q, намного сложнее. Например, входное сопротивление смесителя в радиостанции NorCal 4OA составляет 1500 Ом, и для фильтра с высоким значением Q необходимо чрезвычайно высокое реактивное сопротивление. В такой ситуации более выгодной может оказаться схема с параллельным резонансом, так как
