Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
Fr = 2 [P0 cos Gt0 + 2P1 cos Ct1 cos у + 2P2 cos a2 cos 2y +. • • • ].
(3.92)
С учетом соотношений (3.90)
Z-I
F Г= 2 [К (Sin a" + taf + (COS O0 +Ir COS iy)2 - l]3/2 X
i=O
COS Ct0 + \r cos iy . /Q no\
X — , 1 cos 1V- (3.93)
"J/ (sin a0 + llf + (cos a0 + lr cosiyf
Суммирование в равенстве (3.93) производится по всем шарикам. Обозначим
(sin осо + l*oY + (cos a0 + Ir cos iyf = L; Sin CC0 + її — M; cos Ct0 + lr cos iy = N (3.94)
и перепишем равенство (3.93) в виде
^ = 2-^^(LV2_l)3/2_^_C0SlY , (3.95)
98
Введем функцию
Z-л
f (I) = 2-^-^ (LW- I)3'2-jbcos iy--= 0 (3.96)
«=0
и разложим ее в ряд Тейлора по степеням малого параметра ?г. Учтя в полученном ряду слагаемые, содержащие величину \т в степени не выше третьей, и отбросив все остальные, имеем
do + ailr + a2gr -f азі? = О,
(3.97)
при этом коэффициенты
1 1 dkf(lr)
z * dl)
Sr=o
(3.98)
Для вычисления производных dkFr (gr)/d?* воспользуемся соотношениями, вытекающими из равенств (3.94),
«^L = 2N cosiT; 4JH°; ^171=005^ (3-99) Дифференцируя равенство (3.96) по параметру получим
Z-i
dfi
d,
^--i-S^-^-rf'+T^-"]^'
^f(Ir) _ 3
dl) 2 Z л
¦4(L1/8 —I)2
L3/2
1 + 6 (L1/2 — 1)
cos^ iy;
cos'' 17;
(3.100)
d?3
1)-3/2-,2
<=0
yV4 L2
_3__1_
4 Z
N2L \ N2
+ 8(^-,)3-^-4
1 — 12(L1^-I)
N2LW ¦
cos4 /7.
Так как при \т = О
LI/2 = 'cSa^; /W = cos a0 tg a*;- N = COSa01
99
то
Z-I
2 /cosa0 . \3/2 . р
а°=^Г\шф-Х) cos a* ^ cos JY-^r;
J=O
z-i
«¦ - т - і- (-1Г *cos° " [1+6 (1 - Ш)tg'а* -
*=- т 4 О -1 Г'2 «* [1 -12 (1 - ) * «* -
-12('-^)V**<te,"*-4> +
Легко показать, что
(3.101)
2 cos /y = 0;
i=0
z-i
Y cos2 j'y 1
J=O
(3.102)
2 при Z =2 L- при Z>2
2j cos3JY= )
1=0 (О при Z > 3:
z_! Г 2 при Z = 2 и Z= 4;
S cos4JY= 32 _ , .
1=о , -g- npHZ=3nZ>4.
Первая формула (3.102) непосредственно вытекает из равенства нулю геометрической суммы сходящихся векторов, одина-
.2л ,. п <
ковых по модулю, аргументы которых равны і —^- (J = 0,1, . . .,
Z — 1). Эта формула справедлива также при замене под знаком суммы величины і на in, где п ¦— любое целое число.
Ограничимся доказательством второй формулы (3.102). Остальные формулы доказываются аналогично. Имеем
z-i j Z-I
Y cos2 jy=-S- Yt (1+cos22j'y).
J=O
J=O
(3.103)
100
2jt
При 2 = 2 угловое расстояние между шариками Y = -у = п>
поэтому
S cos2 iy = 4- S (1 + cos 2W) = 2.
При Z >2 в силу первой формулы (3,102)
Z-I
S cos2{'y = 0.
J=O
Откуда сразу вытекает, что при 2 > 2
2 '
S cos2 = -o-'
j=0
Положив 2 > 4, на основании формул (3.101) и (3.102) найдем, что
Er .
3 / cos ct„ . \ Vі 2 * Г і і 2 / , cos а* \ , ,
O1 = -S- (-г — 1 ) cos а* 1 + ( 1--) tg
1 2 \ cos а* / L 3 \ cos Ctn J
а2 = 0;
3
03 — ~ 64
( ?A _ 1 V3/2 cos* а* Г1 - 12 ( 1 - ^ ) 1 tg* а* -
\ COS Ct / L V cos Ot0 / J .
-!2(1-^)2?2«*^2«*-4) +
+ 8(1-S?)8ts'a*(tg'a*-4)]- (з-104)
Таким образом, равенство (3.97) принимает следующий вид:
a&r + ast--^-=0. (3.105)
В большинстве случаев можно ограничиться линейной зависимостью между внешней радиальной нагрузкой Fr и безразмерным радиальным смещением Е, ротора, отбросив в последнем равенстве слагаемое, содержащее |Л в третьей степени. При учете этого слагаемого целесообразно решать уравнение (3.105) методом итераций, используя формулу
Ьь = Т&--(? = 1,2,...), (3.106)
при этом
Ьо=¦^r- (3.107)
101
Численные расчеты показывают, что практически точные результаты можно получить уже при k =1; ошибка при этом не превышает 0,15% даже для наиболее невыгодного случая. Положив \t = = ?г1, определим
. . Ч--ЙГ ['-?-^)']- (З.Ш8,
Найдем условие, обеспечивающее загрузку всех шариков в комплекте. На основании равенства (3.90) заключаем, что все шарики будут загружены, если
(sifl OC0 + ll)2 + (COS OC0 + |rcos«Y)2> 1, (3.109)
2 z_¦ 1
где п= ~2--при четном числе шариков в комплекте и п = —2--
при нечетном.
Решив неравенство (3.109) относительно \., получим
cosan / л / . 2?* sin an + І*2 N
\\r>---И —1/ і———, . (злю)
' г cosny \ P COS2O0 / '
Положив \r «rf Іго, получим для критической радиальной нагрузки
cos dr. ( л / 2?* sin CZn + ЕІ*N
^гко = — afi*-Ml —1/ 1--!5- °^Sa . (3.111)
rRP 1 cosny \ И COS2O0 j v '
Для определения радиальной жесткости опор будем исходить из равенства (3.106). Заметив, что радиальная жесткость Сг определяется по формуле
Г — dF'
будем иметь
Г - ч___
В заключение настоящего параграфа приведем формулы для определения углов контакта а{ шариков с кольцами, а также усилий P1, действующих на шарики. Имея
sin an 4- Vr,
sing,= -— °^?о =-; (3.113)
у (sin a0 + ll)2 + (cos O0 + |r cos (у)2
coscc,.= CMa0 + ErCOSiY (i=0, 1, .... z-i)1
у (sin a0 + С) + (cosa0 + ?r cos iyf
(3.114)
102
с помощью формулы (3.87) получим
Sa
tg а0-
COS CCn
1 + Sr
XgU1=-(3.115)
D ' cos iy v '
cos a0
но согласно формуле (3.81)
поэтому
і
tg a„ a--— = tg a*
ь u ' cosa0 ь '
