Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов - Анучин О.Н.
ISBN 5-90780-22-8
Скачать (прямая ссылка):
Заметим также, что матрица ортогонального преобразования или матрица Cx'vz. направляющих косинусов, определяющая
взаимную ориентацию подвижной и неподвижной систем координат, выражается через введенные выше параметры Родрига-Гамильтона и составляющие вектора Эйлера следующим образом:
• дня параметров Родрига-Гамильтона
Xq + А ~ л-2 - X3 2(?.!? - X0X3) 2(X0X3 + X1X2) Х20+Х22-Х^Х2з 2(X1X3-X0X2) 2(X0X1 + Х2?-з)
¦а .2
2(X0X2+ X1X3) 2(X2X3-X0X])
.2 , Л л2 .2 A0 + A3 — л>\ — А2
(1.4.24)
• дтя составляющих вектора Эйлера вводится кососимме-
бУДет равна [16]
0 -9,
матрица Ф = 0 -вх , а
0
а искомая матрица
cx-y-z =еф = ^х3 + Ф+-Ф2+ІФ3+і#+:..ї; ¦ "•
і-'2-'з **> 2! З! .•V1 >.
= ?3x3 + oisme+02i(l-cose), • ¦ Дї.4.25)
e2=e2r + e2+e2. \ ¦-
С учетом вышесказанного искомый кватернион , определяющий ориентацию объекта или, что то же самое, ориентацию трехгранника xo>'uzO относительно горизонтной системы координат 717273(^^1) с географической ориентацией осей, может быть найден по теореме сложения преобразований или в виде «кватернионного» произведения [16]
Н°=Н°*Н?°Н^, (1.4.26)
где верхние и нижние индексы кватернионов соответствуют системам координат, относительно которых они определяют ориентацию, а (о ) - оператор «умножения» кватернионов.
Если исходной информацией для вычисления параметров ориентации являются составляющие вектора ш^, угловой скорости вращения связанной с измерительным блоком системы координат 3?;?? на ее оси (БИИМ на ДУС и безгироскопные
БИИМ на ИУУ), то компоненты кватерниона могут быть вычислены интегрированием уравнения Пуассона [16]
Й?=ін?о<а6. (1.4.27)
пли в векторно-матричной форме (здесь и далее опускаем у компонентов кватерниона Hf верхние и нижние индексы)
"о 'H0 -H1 -н2 -H3 0
H1 і H1 H0 -H3 H2 "Ч
H2 ~2 H2 H3 H0 -щ
H3 -H2 H1 Но,
(1.4.28)
55
"о H1 H2 H3
H0 H3 -H2
-H1
-н3
-H3
H2 -H1
H0 .
- матрица, соответствующая кван-
тернионному произведению; -
ствующий вектору ю^.
О
кватернион, соответ-
Элемснты кватерниона вычисляются по значениям выработанных в БИИМ координат места в соответствии со следующими соотнощениями:
(Щ )0 = cos cos ^, (Щ), =
(Hy)2 =sm j6
X,
ф t . Л. . ф 5—,(Нг)з = SlIl-SlIl—
Xt . Ф -cos — sin — , 2 2
X.
(1.4.29)
1W' — З"1--*"и;> -5 \ J1 W 1 ---- ----
r/_ 2 2 Y 2 2
Кватернион Hq , определяющий ориентацию связанной с ИБ системы коодинат x^y^z^ относительно связанной с корпусом объекта системы координат xqVqzq, может быть найден в виде
(Я0Ч = COs^(W0*)! = О, (Я0*)2 =0,(tfo4)3 = siiA (1.430)
Кватернион Ну , определяющий ориентацию связанной с измерительным блоком системы координат х^уь^ь относительно горизонтной системы координат УП2уI1(ENh) с географической ориентацией-'осей, может быть найден либо как кватернионное произведение (согласно 1.4.26) Ну =uf °Щ, либо непосредственно интегрированием дифференциального уравнения Пуассона в виде [16]
• (1.4.31)
(Шгесь и да-'& и нижние
Уравнение (1.4.31) в векторно-матричной лее опускаем у компонентов кватерниона Н* индексы) может быть представлено в виде 56
H0 'H0 -H1 -H2 -H3 " о" " 0 -со? -mN -Щ~
H] і Щ H0 -H3 H2 о, аЕ О -а,, ИЛ'
H2 H2 H0 -Hi со,, uN со,, 0 -<в?
.яз. Щ -H2 >h H0 mz. со,, -Ид. 0
(1.4.32)
'H0
Hi
H2
А
о
К -<°я)
(CO3,-rav) (»г-°>А)
о
-(сог+шл) (coy+co,v)
-(<ay-aN) (со - +0),,) О
-(сог-соА)
-(Vy +<»Л') (CO1 +01?)
о
(1.4.33
Для получения выходных параметров ориентации, т.е. углов Ar,\j/,0, по информации о вычисленных составляющих кватерниона H можно воспользоваться связью элементов матрицы на-правляющих косинусов, определяющей взаимную ориентацию связанной и горизонтной систем координат, через искомые углы и составляющие кватерниона и угол вращения ИБ, а именно:
с11 с12 с13
с21 с22 с23 = (1.4.34)
C31 C32 C33 _
C0 =
cosATcos6 + sinArsin\j/sin9 sinATcosy cosATsin9-sinArsin\|fcosQ -sinATcos9 + cosArsin4/sin9 cosATcosy -(siii^sin9 + cos/fsinv)/cos9 -cosysin9 siny cosycosO
c12 ^13
C22 C23 = c?c6°,
(1.4.35)
где C6" =
11 e32 c33j
— матрица направляющих косинусом
cos p sin p 0 -sinp cosp 0 0 0 1
определяющая ориентацию связанной с ИБ системы координаТ-57
тносительно связанной с корпусом объекта системы ко-ординат XfjWO.
dn di2 ol3 dn d22 d23 d3i d32 <%.
H2 + ні - н\ - НІ 2(HiH2 - H0Hy) 2(H0H3 + HiH2) Н20+НІ-Н2і-НІ 2(H0Hi+H2H3)
2(H0H2+HxH3) 2(H2H3-H0Hi) H20+H23-НІ-Н22
2(H1H3-H0H2)
(1.4.36)
матрица направляющих косинусов, определяющая взаимную ориентацию горизонтного трехгранника" ENh и связанной с ИБ системы координат xbybzb..
Из элемента C32 находим выражение для угла килевой качки ці (здесь и ниже опущены верхний и нижний индекс компонентов кватерниона Н*)
2[(H0Hi +Я-Нз)со5р + (Я,Н3 -tf0H,)sinpl \у = arctg .--
Vl - 4[(H0^i + H2H3)COSP + (HxH3 - H0H2)Sm рр
(1.4.37)
Элементы матриц C31 и C33 позволяют определить угол бортовой качки О
3 = arctg
2[(H0Hx +H2H3)smp + (H0H2 -H1H3)COSp]
