Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов - Анучин О.Н.
ISBN 5-90780-22-8
Скачать (прямая ссылка):
Фі + П'к)АТ + ±[F(tk)&Tf+...
- переходная матрица динамической системы (1.3.21) в момент времени /?; -———-
Гк ~Ф^G(I^)AT - матрица, определяющая влияние вектора 35
входных шумов и'д_і в момент времени tk;
vjjj. = ФкС(1к)АТ — матрица, определяющая влияние вектора управления н?_і в момент времени iiK ;
Епхп — единичная матрица размерностью (их «);
ДГ — шаг интегрировния (дискретность) динамической системы (1.3.25).
Матрицы интенсивностей векторных дискретных гауссовских шумов wk системы и vk измерений связаны с соответствующими матрицами непрерывной динамической системы соотношениями:
Ок=Ш я^Шг (1.3.27)
~К AT К AT11
где ДГИ - интервал дискретности поступления измерений.
Известная линейная зависимость вычисляемых оценок вектора состояния от измерений в алгоритме ФК при линейном оценивании [51] является следствием гауссовского характера апостериорной (условной к измерениям) плотности для этого вектора. В то же время нередко на практике при обработке навигационной информации приходится сталкиваться с задачами, в которых апостериорная плотность не является гауссовской. Такая ситуация складывается, например, если уравнения, описывающие динамику изменения вектора состояния, и (или) уравнения для измерений нелинейны, а также если имеет место наличие неточно известных параметров в этих уравнениях:
Ч = ^к(Ч-\) + ^кЧ-\+^т-\> (1-3.28)
zk = Hk{xk)+yk, (1.3.29)
Это приводит к необходимости использования алгоритмов теории нелинейной фильтрации, центральное место в которой занимает проблема нахождения апостериорной плотности.
В настоящее время в задачах навигации при гауссовском характере шумов wk сігстєіші и \>к измерений широкое распространение получили алгоритмы калмановского типа, основанные на гауссовской аппроксимации апостериорной плотности при разложении в ряд Тейлора матриц динамики Фк(хк-\) 11 измерений Нк{хк) [26,64].
В простейших алгоритмах используется линеаризованное представление функций Фк(хк_-\) и Нк(хк), которое может быть записано в виде:
Фі-(**-і)=Ф*(*лі) + ' У"ді)(^-і-хд1), (1.3.30)
^4-)^-(?) + ^^?-?). ( 1-3.31)
где ілі-А'л2 — точки линеаризации.
Известно [64], что алгоритмы оценивания вектора состояния в этом случае имеют вид:
4,4-1 = Фі-fel) + аФ'г1л')Х4-1 - *.и), (1-3.32)
% = їі-.ч-і +^(?,?)!?--Ht(xn2) - дНк}хтл2) (hik-\ - *л2)],
где матрицы ковариаций Pkik-\(х"Л]),^(^лЬхл2) и матричный коэффициент усиления K^(Xn],хл2) будут определяться согласно выражениям ФК для линейного оценивания [51], т.е.
Kk = PkIk-XHkWkPkIk-M +?]"1, Pk = [Е,К„-КкНкП I к-\-
. дФк(х„[) ., дНі (хл2) в которых =-к л" ,1?. = —* Y .
Алгоритм (1.3.32), в котором в качестве точек линеаризации используются фиксированные значения хл1 = xk~i,xa2 = їд-, где
X)1 — априорные математические ожидания, it для которого матрицы ковариаций Pk/k-l(*k-])-Pk(xk<Xk-l) и коэффициент усиления Кк(хк--*к-\) не зависят от измерений, получил название линеаризованного ФК. Следует отметить, что в задачах обработки навигационной информации в ИСОН с низким уровнем интеграции в основном согласно (1.3.5) и (1.3.9), принимается
х'л1 ~ хл2 ~ H -
Если в качестве точек линеаризации используются оценки хл\ = Хк-\,хл2 = хк/к-\ ' то такой алгоритм нелинейной фильтрации принято называть обобщенным ФК. В этом случае матрицы ковариаций Pklk-\{xk-\)^k(Xk-\.xklk-\) н коэффициент усиления Кк(хк-\,xk/k-i) будут зависеть от соответствующих
37
оценок, т.к. Ф* =—j- и Нк---j-. Заметам так-
что в отличіге от линеаризованного ФК данный алгоритм (Ьи'льтрацни относительно измерений будет уже нелинейным. Если в обобщенном ФК осуществляется многократная обработка текущих измерений, т.е. в качестве точки линеаризации принимается хл2 = хк1 то такой алгоритм получил название итерационного обобщенного ФК [64].
Представление функций Фк(хкА) и Я/;(хд.) в виде (1.3.30) и (1.3.31) в принципе возможно в силу, как правило, их дифференцируемого характера. Введем область Пд, в которой допустимо это приближение. Определим также области С1к наиболее вероятных значений хк , т.е. такие, в которых плотность распределения существенно отличается от нуля. Очевидно, что если
С1к єПд.і = 0,І,2.... (1.3.33)
то при решении задач оценивания может быть использована га-уссовская аппроксимация апостериорной плотности. При нарушении условия (1.3.33) допустимая область значений хк может быть представлена в ряде случаев конечным числом M областей ограниченных размеров, в которых это условие выполняется и, следовательно, в них допустимо линеаризованное описание (1.3.30) и (1.3.31). В этом случае целесообразно использовать по-лигауссовскую аппроксимацию апостериорной плотности. Известно [64], что для решения задачи нелинейного оценивания в этом случае необходим так называемый банк из M обобщенных ФК. Необходимость реализации значительного количества фильтров на каждом шаге приводит к существенным вычислительным затратам, что является серьезным недостатком данных алгоритмов. Для его преодоления используются различные приемы, в частности прием, основанный на проведении гауссовскоп аппроксимации апостериорной плотности после накопления определенного количества измерений. Это обеспечивает ограничение максимального количества фильтров до величины, зависящей от числа шагов, после которых осуществляется гауссовская аппроксимация. Такой алгоритм был назван пульсирующим ФК [26].
