Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
32 U Q2f /-(2)
- или -----------—, или fx)x[, или fX Xk.
дхк dxi
дхк dxi
Итак,
д1 f Ч д (х) =
дхк дх,
дх,
удХ;
(х)
(15)
Если кфг, то частная производная (15) называется смешанной частной производной второго порядка. Если к = i, то для частной производной применяется обозначение
d2f d2f д2 f
дх, дх, (дх, )2 дх,2
Функция двух переменных u = f(x,y) имеет четыре частных
производных второго порядка в данной точке (х,у): f^, Д,, fyx, /^.
Отметим, что значения смешанных производных, вообще говоря, зависят от порядка дифференцирования. Например, смешанные частные производные
и иух функции
» = f(x,y) =
X2 — у2 2 7
ху—--------- при х + у >0,
х +у
0 при х = у = 0
в точке (0, 0) существуют, но не равны друг другу. В самом деле, найдем их и
и..:
и =
у(х —у +4х у )
(х+У2)2
0
х(х4 - у4 -4х2у2)
f 2 I 2\2
(х + у )
0
Отсюда
д2 и >¦ 1 ди ди
дудх У дх Х = 0 о о
у *0 ОХ II II
при х +у2 >0,
при х = у -0.
при х2 + у2 > 0, при х = у = 0.
-У
д2и
дхду
х = 0 у = 0
= lim
х->0
1
X
ди
д.у
ди
>’=о ду
х= 0
У = о
lim^1 = -1 ;
у-> О у
= lim — = 1.
х
Теорема 8 (равенство смешанных производных). Если смешанные производные f и f определены в некоторой окрестности точки (х0,у0) и
непрерывны в этой точке, то они равны : f (х0, у0) = / (х0 ,_у0).
После того как введено понятие частной производной второго порядка, можно по индукции последовательно ввести понятие частной производной третьего, затем четвертого порядка и т. д. Пусть нами уже введено понятие частной производной от-1-го порядка функции и = /(х) = /(х,,х2, ...,хп) по
аргументам х, ,х, ,...,х, Тогда частная производная т - го порядка
Ч ‘2 1т-\
определяется как производная по аргументу х;. :
дт / del д
г
дх, дх, ...дх, дх:
dm-'f
дх. дх. ...дх.
Определение5. Функция и = /(х) = /(х,,х2, ...,х„) называется т раз дифференцируемой в точке х0, если все частные производные порядка т-1 являются дифференцируемыми функциями в этой точке.
Теорема 9. Если функция и = / (х) т раз дифференцируема в точке
х0, то ее частные производные т-го порядка в точке х0 не зависят от порядка дифференцирования.
Теорема 10. Если функция u=f(x) в некоторой окрестности точки
х0 имеет все частные производные т-го порядка, непрерывные в точке х0,
то функция f т раз дифференцируема в этой точке.
5. Дифференциалы высших порядков. Пусть функция
м = /(х) = /(хрХ2, ...,х„) два раза дифференцируема в области D a Rn.
Тогда дифференциал
... ди . ди . ди . А Зм . , ,
аи(х) =-----а х, н---а х2 + ...Н---а хп — 2_,--(х)ах{ (16)
дхх дх2 дхп /=1 5х(.
представляет собой функцию 2 п переменных
Jx,, d!x2, ..., dxn. Если фиксировать переменные dxx, dx2, ..., , то
дифференциал d и будет функцией х. Поскольку частные производные
ди/дх;, i-1, и, дифференцируемы в области D, то du(x) как функция х
имеет в каждой точке х е D дифференциал d (du). Этот дифференциал
называется дифференциалом второго порядка функции и = / (х) и
обозначается через d2u.
Итак,
d2u = d2f(x) = d(df(x)). (17)
Аналогично вводится понятие дифференциала т - го порядка, т.е.
dmu = dmf(x) = d(dm-1f(x)).
При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится существенно различать два случая: 1) когда аргументы хх, х2, ..., хп
юз
являются независимыми переменными; 2) когда аргументы хх, х2, ..., хп сами являются соответствующее число раз дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных tx, t2, ..., tk.
