Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
х = (х{, х2, хп), координаты которых заданы равенствами :
X, =att + b; (1 - /), 0 < t < 1, i = l, п .
Множество в R” называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, соединяющий эти точки.
Непрерывной кривой в Rn называется множество точек
x = (х{, х2, хп), координаты которых заданы как непрерывные функции
xi = (pi(t) , i = 1, л , t е [а, /3 ] с R. Аргумент t называется параметром кривой. Точка х(а) = (<рх(а), <р2{а),..., (рп{а)) называется началом, а точка л;(/?) = (>,(/?), <р2(/3), ..., (рп(/3)) - концом кривой.
Кривая в R", являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в R".
Множество Е в Rn называется связным, если его нельзя разбить на два непустых подмножества Ех и Е2 так, что оба пересечения Е\ Г\Е2 и ЕхглЕг были пусты. В частности, замкнутое множество называется связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся замкнутых и непустых подмножества.
Множество Е в R" называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в Е.
Можно доказать, что любое линейно связное множество является связным, но обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако для случая открытых множеств эти понятия совпадают.
Множество Е в R" называется областью, если оно является открытым и связным. Всякий п- мерный открытый шар является областью.
Замыкание области Е называется замкнутой областью. Замкнутый и-мерный шар является примером замкнутой области.
Лемма 11. Пусть Е - связное множество пространства Rn и А - его непустое подмножество. Если А является одновременно открытым и замкнутым по отношению множества Е, то А = Е.
2. Последовательности точек R". Последовательность (хк), членами
которой являются точки хк = {х[к), х2к),..., х^) из пространства R",
называется последовательностью точек Rn.
Точка a = (а,, а2, an) е R" называется пределом последовательности (хк), если
liтр(хк, а) = О,
к—>°о
т.е. тогда, когда числовая последовательность ак=р(хк,а) является бесконечно малой, и пишут :
lim хк = а или хк —> а ;
fc-»+co
в этом случае говорят, что последовательность (хк) сходится к точке а, и называют ее сходящейся.
Теорема 1. Для того чтобы последовательность (хк) = (х[к), xf],, х'пк))
сходилась к точке a = {ax, a2, ..., an), необходимо и достаточно, чтобы при любом i = \, п
lim x\k) = a.,
к —>qo
т.е. сходимость в пространстве R" равносильна покоординатной сходимости.
Доказательство теоремы следует из неравенств :
I xik) ~ai | ^ ^jic*\k) ~aif =p(xk>a)^
<|x!W -ax | + ... + |х,и) -ai |+... + |x^) -an |.
Теорема 2. Если последовательность (xk ) сходится, то а) она не может иметь двух различных пределов; 6) она ограничена; в) любая ее подпоследовательность (xpt) сходится, причем сходится к тому же пределу,
что и сама последовательность (хк).
Теорема 3 (теорема Больцано - Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности (хк) можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность (хк) точек хк из R” была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е. для любого е > 0 существует номер к0 такой, что для всех натуральных к, т> к0 выполняется неравенство Р К, хт)<?-
3. Функции многих переменных. Пусть D - произвольное множество точек пространства R", т.е. D a Rn. Если каждой точке х из D по некоторому правилу / поставлено в соответствие единственное число и , то говорят, что на
множестве D задана или определена числовая функция от п переменных, которую записывают в виде
и = /0i, х2,..., xn) = f(x), x = (x],x2,...,xn)eD. (5)
При этом множество D называют областью определения функции и обозначают через Df. Совокупность всех значений, которые функция принимает на
множестве Df, называют множеством значений функции и обозначают символом Ej-, т.е.
Ef={f{x) | * = (*,, *2, ..., xn) е D } = /(?)).
Если и = 1, то u = f{x{) = f{x) и мы получаем функцию одной
переменной, которая изучена выше. При n > 1 функция (5) называется функцией многих переменных.
Если п = 2, то и = f (хи х2) и имеем дело с функцией двух независимых переменных х, и х2. В этом случае часто пишут и = f (х, у) или z = / (х, у).
Если п = 3 , то и = f (х,, х2, х3). В этом случае получаем функцию трех переменных и вместо (5) будем писать
u = f(x,y,z), (х, у, z)eDcR>.
Пусть задана функция (5). Тогда множество точек пространства Rn+l вида Tf = {(х, и) = (х}, х2, хп, f(x)) | xeD <=/?", и = f (х)} называется графиком функции и = f (х) .
В случае п = 2 множество точек
Гг = {(х, у, и)= (х, у, z) | (х, у) е D, z = f(x, у)}
