Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
А и(х,у) = ихх+иуу
к полярным координатам (г,ср).
Решение. Пусть x = rcos(p и y = rsincp. Отсюда г = д/х2 +
У
V
(р = arctg— . Предварительно вычислим :
х
х
г =
' г
X +у
(р* =
У
/ 2 , 2~ Vх + .У
= ^-г =1
’ 'хс
г 7-
X
¦ г =
’ XV
У
у х 2 ху 2 ху
2 ’ Фу ~ 2 ’ Фхх ~ 4 ’ Фуу 4
ГГ г
Тогда на основании формул (24) и (25) найдем
и*х = ™ггг1 + 2и>г9гх(рх + wipip(p] + wrrxx + wfp(px
X . XV у
— w--------------2 w------------------1-w----------h w
rr ^2 rq> 3 ,y<p<p ^4 r
1 X
2
+ w.
2 xy
<P r4
Myy = ™ггГу + 2 V>rJy<Py + + Wrryy + ™„(Руу =
УУ
2 2 У ^ ХУ У
— W? --------------- -{- 2w-------------------h w —
rr 2 r<p 3 ' qxp 4
r r r
• /
+ w.
1 У
yy ¦ (ртуу 2 \
¦ w,„
2 xy
где w (r, ф)-и (x, y) = u{r cos cp, r sin cp) . Отсюда
1
1
A w{r, <p) = w„ + - wr + — w r r
Пример 5. В уравнении колебаний струны
utt-a2uxx=0,
(27)
где a = const>0, (x,t) е R2, произвести замену переменных х и t по формулам % = x-at, Tj = x + at и, проинтегрировав полученное уравнение,
найти решение данного уравнения.
Решение. Предварительно вычислим
?=!: ?,=#„=#„ = 0; ^=1; 7, =а; =*7„ =*7„ =0 .
Тогда по формулам (24) и (25) найдем производные :
ихх = +2wf, + ww , и„ = -а2 -2а2 +a2 .
Подставляя значения и мгг в уравнение (27), получим
„ = 0 ¦ (28) Теперь найдем решение уравнения (28). Для этого его представим в виде
dw
= — 4п дт1
= 0.
Отсюда следует, что
д w
—=ад). (29)
где Сг(?) - произвольная непрерывная функция. Интегрируя уравнение (29) по переменной cf, найдем
= Jc;(f)df+c2(i7),
где С2(^) - произвольная функция, или
w(^,ri) = f(^) + g(ij), (30)
где g(ij) = C2(ij), f(g)=iCl(g)dg. Если функции /(?) и gfo) один раз непрерывно дифференцируемые функции, то функция w(^,rj), определяемая формулой (30), является решением дифференциального уравнения (28). Если в формуле (30) вернуться к переменным х и t, то получим решение исходного уравнения(27)
и (х, t) = f (х — at) + g (х + at) при условии, когда / (?) и g(rj) являются уже дважды непрерывно дифференцируемыми функциями на числовой прямой R .
§ 16. Локальный экстремум функции многих переменных
Пусть функция u = f(x) = f(x}, х2, ..., хп) определена в области D с R" и х0 = (xl-0\x20\...,x^0) ) - точка этой области.
Определение 1. Назовем х0 точкой локального максимума (минимума) функции f (х), если найдется такая 8 -окрестность U (х0, S) точки х0, в
пределах которой значение / (х0) является наибольшим (наименьшим), то есть при всех х € U (х0, 8) выполнено неравенство
f(x)<f(xо) (/(х)>/(х0)).
Определение 2. Назовем х0 точкой строгого локального максимума (минимума) функции / (х), если найдется такая проколотая 8 -окрестность
О О
U (х0,8) точки х0, что при всех х eU(x0,8) выполнено неравенство
/(*)</(*о) (/(*)>/(*о))-
Точки локального максимума или минимума функции называются точками локального экстремума. Таким образом, точка локального максимума (минимума) функции / характеризуется тем, что полное приращение функции в
этой точке А/(х0) = /(х)-/(х0) < 0 (А/(х0) >0) при всех х е U(x0,8) .
Теорема 1 (первое необходимое условие существования точки экстремума функции). Если в точке х0 экстремума функция / (х) имеет частные производные первого порядка, то они в этой точке равны нулю:
(Х°) = ^ (Х° ^ = (х° ^ = °' дх, дх, дх„
12 п
Отметим, что обращение в нуль в данной точке х0 всех частных
производных первого порядка является лишь необходимым, но не достаточным условием существования точек локального экстремума функции. Например, функция и = f(x,y) = xy двух переменных х и у в точке (0,0) имеет частные
