Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
можно изобразить геометрически в пространстве R3, в виде некоторой поверхности. При п > 2 такой геометрической интерпретации графика Г^. уже нет.
Пусть задана функция (5). Тогда множество всех точек x = (xv х2, xJgD , удовлетворяющих уравнению
f(xl, х2, хп) = с = const, называется множеством уровня функции / или множеством одинаковых значений и = с . В случае п = 2 множество уровня называется линией уровня, в случае п = 3 - поверхностью уровня, а при п>Ъ - гиперповерхностью уровня. Примеры функций многих переменных.
1. u = f(x, y) = ^9-x2 -у2 - здесь область определения представляет собой замкнутый круг радиусом 3 с центром в начале координат: Df ={(х, у) е R2 \ х2 + у2 <32} , а множество значений есть промежуток
Е,=[0, 3].
2. u = f(x, у, z) = (t]9-x2-у2-z2) ,
Df ={(х, у, z)e R3 | х2 + у2 +z2 <9 } - открытый шар радиусом 3 с центром в начале координат, Ef =[l/3, +оо ).
3. и = /(х,, х2, хп) = д/jCj2 +х22 + ... + X2 -1 - здесь область определения есть внешность п - мерного открытого шара радиусом 1 с центром в начале координат:
Df = {(xl, х2,xJgR" х2 +х2 +... + X2 >1}, ?, = [ 0, +оо).
4. Линиями уровня функции и = f (х, y) = ^4-x2 -у2 являются
концентрические окружности х2 + у2 = 4 - с2, 0 < с <2.
1. Предел функций многих переменных. Пусть функция и = f (х) = /(хр х2, хп) определена в некоторой проколотой окрестности
о
точки а = (ар а2, ..., а,,): U (а, г) = Z), г > 0 .
Определение 1. Число b называется пределом функции u=f(x) в точке х = a, если для любого наперед заданного числа ? > О найдется число 8> 0, такое, что при всех хе D и удовлетворяющих неравенству р(х, а) <8 следует неравенство \f(x) — b\<s. Этот факт записывают символом
И mf(x) = b или lim /(х,, х2,хп) = Ъ . (1)
x->a
х2->а2
х„->а„
На основании леммы 2 § 13 определение 1 можно переписать, используя понятие прямоугольной (кубической) окрестности точки а .
Определение 1*. Число b называется пределом функции и-f {х) в точке a, если для любого наперед заданного числа ? > 0 найдется число д > 0 такое, что при всех х eD и удовлетворяющих неравенствам : \xl—al\<5, \x2-a2\<5, ..., \xn-an\<8
следует неравенство | / (х) — b\<e.
Определение 2. Число b называется пределом функции и = / (х) в точке a, если для любой последовательности (xk), хк е D, сходящейся к a, соответствующая последовательность (f (хк)) значений функции f сходится к b.
Так же, как и для функций одного переменного, доказывается эквивалентность определений 1 и 2.
Рассмотрим прямую
x = a + lt {xi = ai + /, t, i = 1, n), (2)
проходящую через точку a = (ap a2, an) по направлению единичного вектора / = (/,, /2,l„), I2 +l22 +... + ln2 = 1, teR. При |?|<r точки прямой (2) находятся внутри окрестности (J(a, г). Поэтому при |^|<^* определена функция F (t, l) = f (a + lt) .
Если при фиксированном векторе I существует предел lim F (t,l), то его
t-> О
называют пределом функции / (х) в точке х = а по направлению вектора I.
Отметим, что если существует предел (1), то существует предел функции / (х) в точке х = а по любому направлению I, этот предел не зависит от
направления и равен b. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В этом можно убедиться на следующем примере. Функция
/(х„ х2) = /(х, у)= 2~У ¦ (3)
х +у
в точке (0, 0) е R2 по любому направлению / = (cos a, sin а), 0<а<2л,
имеет предел и этот предел равен :
lim f (tcos a, rsin a) = lim sin 2a - sin 2a . (4)
t->0 f->0
Однако функция (3) в точке (0,0) предела не имеет, так как предел (4) зависит от направления I = (cos a, sin а) .
Пусть / (х, у) - функция двух переменных определена в проколотой
окрестности точки (х0, у0): (J ((*0, у0), г), г> 0. Предположим, что при
каждом фиксированном у : 0 < | у - у0 ) < г существует предел
lim / (х, у) = (р(у).
дг-»дг0
Тогда если существует предел
lim (р{у) = lim lim /(х, у) = Ь{, (5)
У->Уо У~>Уо х^хо
то он называется повторным пределом функции / (х, у) в точке (х0, у0). Аналогично определяется повторный предел
lim lim / (х, y) = b2. (6)
*->*0 У~>Уо
Как показывают примеры, из существования предела (двойного)
lim / (х, у) = Ъ (7)
У^У о
не следует существования повторных пределов (5) и (6), а из существования и равенства повторных пределов не следует существование двойного предела (7).
