Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Если существует двойной предел (7), а также существуют пределы:
lim / (х, у) = <р(у) (0<|^-^0|<г);
х->х0
lim / (х, у) = ц/ (х) (0 < I х - х01 < г),
У^Уо
то существуют повторные пределы (5) и (6) и они равны двойному пределу (7).
2. Непрерывность функций многих переменных. Пусть функция и = /(х) = /(х,, х2,хя) определена в некоторой окрестности точки
a = (a,,a2,...,a„) : U(a,r) = D.
Определение 3. Функция /(х) называется непрерывной в точке a е D, если существует предел f (х) в точке х = a , и
lim / (х) = / (а). (8)
Поскольку понятие непрерывности функции в точке определяется через понятие предела функции, то на основании определений 1 и 2 можно сформулировать следующие определения, равносильные определению 3.
Определение 4. Функция f (х) называется непрерывной в точке a е D, если для любого наперед заданного числа ? >0 существует число 5 > О такое, что при всех xeD и удовлетворяющих неравенству р(х, а) < 5,
следует неравенство \ f (х) — f (a) | < ?.
Определение 5. Функция /(х) называется непрерывной в точке a е D, если для любой последовательности (xk), хк е D, сходящейся к а, соответствующая последовательность (/(хк)) значений функции / сходится к числу f (а).
Разность х,- - а,- = Ах,-, i = 1, п , называется приращением аргумента х; в точке а,. Соответствующее приращение функции / в точке а имеет вид Ди = Д/(а) = /(х)-/(а) = /(а + Дх)-/(а) =
= /(«i +Дх,, а2+Дх2,ап +Дхи)-/(а„ а2,ап).
В этих обозначениях равенство (8) равносильно
lim [/(х) - / (а)] = 0 <=> lim Д и = 0.
х-а->0 Дд:—>0
Отсюда следуют
Определение 6. Функция /(х) называется непрерывной в точке a е D, если в этой точке бесконечно малым приращениям аргументов функции соответствует бесконечное малое приращение самой функции.
Определение 7. Функция f (х) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке х е X.
Определеннее. Точка a е X, в которой функция /(х) непрерывна, называется точкой непрерывности функции f (х). Точка a е X, не являющаяся точкой непрерывности функции / (х), называется точкой разрыва функции.
Для функции и = /(х,, х2,хл) наряду с непрерывностью в вышеопределенном смысле, которую называют также непрерывностью по совокупности переменных х,, х2,..., хя, рассматривают непрерывность по
отдельным переменным х(., i = 1, п .
Определение9. Функция и = /(х,, х2,х;,хл) называется непрерывной в точке a = (al, a2,an) по переменной х(, если функция <P(xi) = f(al, a2,af_„ xf, ai+l,an) одной переменной xi непрерывна в точке а,, или, по-другому
lim A( и (a) = 0,
AXj-*0 ¦'
где
^ (^) ./* ? ^2 ’ '*'9 ^i-I? Ct- 'h ^ X&i+i j **• з )
-/(a„a2,...,aI._„aI.,aI.+1,...,aJ называется частичным приращением функции f (х) в точке а по переменной хг
Отметим, что из непрерывности функции и = /(х,, х2,х(.,хп) в точке а по совокупности переменных х1,х2,...,хя всегда следует ее
непрерывность по отдельным переменным. Однако обратное утверждение неверно. Например, функция двух переменных
u = f(x,y) =
О при х = у = О непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности в любой точке
плоскости R2, но не непрерывна по их совокупности в точке (0, 0), так как не имеет в этой точке даже предела.
Относительно непрерывных функций многих переменных верны все теоремы, аналогичные соответствующим утверждениям для функций одной переменной.
Теорема 2 (локальная ограниченность непрерывной функции). Если функция f(х) непрерывна в точке aeD, то существует такая окрестность точки a, в которой функция ограничена.
Теорема 3 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция / (х) непрерывна в точке a е D и /(а) Ф 0, то существует такая окрестность точки a, в которой функция f (х) сохраняет знак числа f(a).
Теорема 4 (арифметические действия над непрерывными функциями). Если функции f (х) и g (х), заданные на одном и том же множестве D, непрерывны в точке aeD, то функции f (x)±g(х), /(x)g(x) и f (x)/g(x) также непрерывны в точке а (для частного g(a)* 0).
Теорема 5 (непрерывность сложной функции). Пусть функции xk = (pk(t)~ (pk{tx, t2,tm), k = l,n, заданные на множестве G cz Rm, непрерывны в точке a = (al, a2,am)&G, а функция u = f (x) = f (x,, x2,xn) непрерывна в точке b = (b{, b2,..., bn), где bk =(pk(at, a2,..., am), k = 1, n . Тогда сложная функция
u = fVPi(0> •••> Pn(0J непрерывна в точке a .
Теорема 6 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция
/ (х) непрерывна на связном множестве D a R" ив точках а и b из D принимает неравные значения /(a)- А и / (Ь) = В . Тогда для любого числа С, заключенного между А и В, на любой непрерывной кривой у, соединяющей точки а и b и целиком лежащей в D, найдется точка с такая, что / (с) - С.
