Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
х-хп
п\
п = 1,2,
(6)
Далее составим функциональный ряд вида
Уо+ [J'iW-J'ol + f^2(¦*)]+ - + \-Уп(х)~Уп-\(*)] + - • (7)
Покажем, что функциональный ряд (7) из непрерывных на сегменте [xQ-h, х0 +h\ функций сходится равномерно на этом сегменте. На основании
оценки (6) ряд (7) на отрезке [xQ-h, xQ +h\ мажорируется рядом
+ 00 у_ у I» +00 in
Ы+Т.К"-'М^Л-
«=1 и! „=1 п\
который в силу признака Даламбера (см. гл.1, §11, п.1) сходится. Тогда ряд (7) в силу признака Вейерштрасса (см. гл.1, §11, п.2) сходится равномерно на отрезке [x0-h,x0+h] и его сумма ср(х:) является непрерывной на этом отрезке.
Поскольку частичная сумма ряда (7) равна уп(х), то существует предел
^(x)=lim уп(х), xe[x0-h, x0+h].
П—>+ оо
Понятно, что | <р(х)-у0\ <Ь, так как | уп (х)-_у0| <Ъ , если \ x-xQ\<h . Теперь докажем, что найденная таким образом функция <р(х) удовлетворяет на отрезке [xQ -h, х0 +h] уравнению (3). Функция /(х, у) равномерно непрерывна на прямоугольнике Ph. Это означает, что для любого s > 0 найдется 8 > 0, такое, что для всех (х, у'), (х, у") е Ph и | у - у" | < 8 будет выполняться неравенство : | / (х, у) - / (х, у") | < е . Далее из
равномерной сходимости последовательности уп(х) к <р(х) на [x0-h, xQ+h] по выбранному 8 можно найти номер п0, такой, что для всех п > п0 и х e[xQ-h, xQ+ h] имеет место неравенство : | уп (х)-(р(х) | < 8 . Тогда для всех п > п0 верны следующие неравенства :
|/(*>Л(*))-/(*> <Р(х))\<е.
<
e\x-
В силу произвольности s из последнего неравенства следует, что
lim ]f(t,yn(t))dt = | f(t,<p(t))dt .
x0 X0
На основании (8), переходя к пределу при п—>+<х> в равенстве (4), получим тождество
<Р(х) = Уо+ J/0> 0>(О) dt<
(9)
Хо
это означает, что функция <р(х) является решением уравнения (3). Этим завершено доказательство существования решения уравнения (3) в классе непрерывных на [x0-h, х0 + А] функций.
3. Единственность решения интегрального уравнения (3)
Допустим, что существует, кроме решения <р(х), еще другое решение
у (х) уравнения (3), непрерывное на отрезке [х0 - h, х0 + А] и
удовлетворяющее тому же начальному условию : Ц'(х0) = у0 и
у/(х) = у0+ jf(t, y/(f)) dt.
(Ю)
Хо
Покажем, что (p(x) = if/(x). Вычтем тождества (9) и (10) одно из другого и, используя при оценке разности условие Липшица, получим
\<р(х)-у/(х)\
<
\\f (t,<P(t))~f(W(t))\dt
Хо
<
Л
К ^\q>(t)-if/(t)\dt. (11)
Хо
Из (11) в силу леммы об интегральном неравенстве (где надо положить z(x) = ф(х)-ц/(х), А = 0, В = К), получим, что ф(х) = ц/(х) на
[x0-h,x0+h]. Итак, если h удовлетворяет неравенству 0<й <тт{а,Ь/М}, то существует единственное решение уравнения (3) в классе непрерывных на [x0-h,x0 +h] функций.
Тем самым, теорема полностью доказана.
Замечания. 1. В условиях теоремы 1 в силу леммы 1 требование выполнения условия Липшица можно заменить условием ограниченности частной производной f’y(x,y) в области D. Если в любой окрестности точки
(хо’ Уо) производная f'y(x,y) не ограничена, то условие Липшица не
выполняется. Если в этой теореме опустить условие Липшица, то оказывается нарушается теорема единственности. Поэтому условие Липшица является существенным. В качестве контрпримера рассмотрим задачу Коши для уравнения
Правая часть уравнения (12) не имеет ограниченной производной по у в любой
бесконечность. Одним из решений задачи (12) и (13) является функция у(х) — 0. Нетрудно заметить, что у = х3 также удовлетворяет уравнению (12) и начальному условию (13). Следовательно, задача Коши (12) и (13) имеет два решения, т.е. существуют две функции >’1(x) = 0 и у2(х) = х3, удовлетворяющие условиям (12) и (13).
Доказательство существования решения задачи Коши (1) и (2) проведено методом последовательных приближений, предложенным Э. Пикаром (1856 -1941), при условии, когда правая часть уравнения (1) непрерывна в области D и удовлетворяет в этой области по переменной у условию Липшица. Отметим, что этот метод является одновременно и эффективным методом приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Однако при помощи других методов можно показать теорему существования в более общих предположениях. Для существования достаточно только непрерывности функции / (х, у) в области D. Справедлива следующая теорема, доказанная итальянским математиком Дж. Пеано (1858 - 1932).
Теорема Пеано. Если в уравнении (1) функция / (х, у) ограничена и
непрерывна в области D, то через каждую внутреннюю точку (jc0, у0) этой
области проходит по крайней мере одна интегральная кривая этого уравнения.
Доказательство теоремы Пеано проводится на основании известного утверждения Арцела о том, что из всякой последовательности равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность (см. [11, §11]).
