Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
условиям: у = у0 при х = х0, то таким решением является равенство
*0 Уо
так как оно содержится в общем интеграле (6) и удовлетворяет начальным условиям.
Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения
xdx + ydy = 0.
Решение. Переменные здесь разделены, т.е. коэффициенты при дифференциалах dx и dy являются соответственно функциями только от х и у , следовательно, интегралом уравнения будет
х2 у2
jxdx+ jydy = Cj, или--------h—= Cj, или x2+y2=2C1.
2 2
Ответ: x2 + у2 = С2, С - произвольная постоянная.
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
Рх (*) 0 (у) dx = P2 (х) Q2 (у) dy, где PjCx), Р2(х), Qx(y), Q2(y) - заданные непрерывные функции, причем Qi(y)Pi(x) 0. в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от у , называются уравнением с разделяющимися переменными, так как путем деления на произведение Qi(y)P2(x) приводится к уравнению с разделенными переменными :
ад а м
общий интеграл которого имеет вид :
= <SMdy+c.
1 ад 1 аоо
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения x(l + y2)dy-y(l + x2)dy = 0.
Решение. В данном уравнении разделяем переменные и интегрируем:
xdx _ ydy j. ydy _ j. xdx _
1 + x2 1 + y2 ' 1 + .У2 1 + x2 1
Вычисляя интегралы имеем
-ln(l + /) = -ln(l + x2) + -lnC, С, = — In С,
2 2 2 2
или
1 + / =С(1 + х2).
Ответ: 1 + у2 = С(1 + х2), С - любая положительная постоянная.
4. Однородные дифференциальные уравнения
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся также и однородные уравнения, имеющие вид :
dy
dx
= / - или y' = f
\XJ
|V
VxJ
y' = f
f w
x
\У jj
(7)
где / - заданная на промежутке <а,Р> непрерывная функция.
Действительно, после подстановки y = zx, где z = z(x), уравнение (7)
преобразуется следующим образом:
dy dz dz ч
— = х----1- z, x------1- z = f(z),
dx dx dx
где переменные при условии f(z)*z разделяются
dz
xdz = [/(z)-z \dx,
dx
f{z)-z x
Интегрируя последнее уравнение, получаем
dz
1п| X | = J-
+ In С, x = Ce
dz
Tw1
f(z)-z
Если f(z) = z, to z'(x) = 0. Тогда у (x) = Cx , С - произвольная постоянная. Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения
+ ^
dx х х
(8)
Решение. Вводим новую неизвестную функцию z :
У =x-z,
dy dz
— = X---------------l-Z .
dx dx
Подставляя это в уравнение (8), имеем:
dz
X-----l-Z = Z + tgZ.
dx
Отсюда, разделяя переменные, находим
cos z dz dx
sinz
Интегрируя, получим
У
In sinz = In x +ln | C01 или sinz = ± C0 x, sin—= Cx .
X
Ответ: ^ = x arcsin С x, Сф 0; у = япх, neZ при C = 0.
К однородному уравнению приводится уравнение более общего вида
f 7 Л
ах + by + с
ахх + Ъху + с.
1 /
Если abx -ахЬ ^ 0, то заменой переменных по формулам у = и + к, x-u+h, о = о(и), где (h,k) - точка пересечения прямых ах + Ьу + с = 0 и ахх + Ьху + сх = 0, уравнение (7') приводится к однородному. Если же аЪх ~ахЬ = 0, т.е. зти прямые не пересекаются, то заменой z = ax + by (или z = ах + by + с) уравнение (7') сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли и Риккати Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид
^j- + p(x)y = f(x), (9)
ах
где р(х) и f(x) - заданные на промежутке <а,Ь> непрерывные функции.
Если /(х) = 0, то уравнение (6) называется линейным однородным, т.е.
оно имеет вид
^ + р(х)у = 0. (10)
dx
Если f(x) Ф 0, то (9) называется линейным неоднородным уравнением. В линейном однородном уравнении (10) переменные разделяются:
