Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
252
Следствие 1. Если D - неограниченная область плоскости переменных (х, у) такая, что любая часть: Daр= Dr\{a<x< /?}, a,/3 eR , ограничена,
то решение <р(х) задачи (1) и (2) продолжается в обе стороны от точки х0 до выхода на границу области или до сколь угодно больших \ х |.
В самом деле, возьмем числа а и /Зк, к = 1,2,..., такие, что a < Д < (32 <..., 0к —> + оо. По лемме 3 для каждого к решение <р(х) задачи
(1) и (2) можно продолжить в обе стороны от точки (х0,.у0) до точек (a,cp{a)) и фк,(р(Ьк)), принадлежащих границе области DaPk. Если при некотором к\ Ьк<Рк< т0 точка (bk,cp(bk)) принадлежит границе области D; если же для каждого к: bk = fik, то решение <р(х) продолжается вправо до сколь угодно больших х, т.е. до +оо. Аналогично продолжается решение ср(х) влево.
Отметим, что условия непрерывности функции f(x,y) и ее производной
fy(x,y) на всей плоскости R2 недостаточны для продолжения решения задачи
(1) и (2) на бесконечный интервал (- оо, + оо) или (х0, + оо). Например,
уравнение у' = 1 + у2 имеет множество решений у(х) = tg(x + С), С -произвольная постоянная, каждое из них определено только на интервале длины к и при приближении к его концам стремится к -оо или +оо. Такие решения не могут быть продолжены.
Следствие 2. Пусть при 0 < х < Т функция у(х) является решением задачи (1) и (2), где f{x,y) и ее производная df / ду непрерывны в неограниченной по х области D и f(x + T,y)=f(x,y) при любых (x,y)eD. Если у(Т) = у( 0), то решение у(х) продолжается на интервал (-оо,+оо) с периодом Т.
Доказательство. Поскольку у'^Т) = f(T,y(T)) = f(0,y(0)) = y'npae(0),
то продолженная с периодом Т функция у(х) € С1 (- оо,+ оо). Она всюду на (- оо, + оо) удовлетворяет уравнению (1), так как для любого целого к имеем: у’(х + кТ) = /О) = /О, у (х)) = f(x + кТ, у(х + кТ)).
Решение <р(х) задачи (1) и (2) называется непродолжаемым, если любое его продолжение совпадает с ним самим. Отрезок, на котором определено непродолжаемое решение, назовем максимально широким.
4. По условию теоремы 1 точка (х0,.у0) - произвольная точка области D и теорема 1 утверждает, что через эту точку проходит единственная интегральная кривая у = ср(х), ср(х0) = у0. Если теперь изменим положение
точки (х0,у0), то получим ли мы другую интегральную кривую? Вообще говоря,
нет, если точка (х0,.у0) принадлежит графику функции у = ср(х). Но если взять
точку (Xq,^), где ух Ф у0, то через нее пройдет другая интегральная кривая у = ф1(х). Если теперь будем менять у{, то получим бесконечное множество решений уравнения (1). Таким образом, фиксируя точку х = х0 и меняя значения у0 так, чтобы точка (х0,.у0) не выходила за пределы области D, мы будем получать различные решения данного уравнения (1). Следовательно, принимая у0 за параметр С, получим семейство решений у = ф(х,С) данного уравнения (1).
Определение 3. Общим решением уравнения (1) в области D называется функция у = ф {х, С), которая зависит от переменной х и от
одной произвольной постоянной С, если выполнены следующие условия:
1) она удовлетворяет данному уравнению (1) при любом конкретном значении параметра С из множества его допустимых значений;
2) каково бы ни было начальное условие (х0,у0) е D, можно найти
такое значение постоянной С = С0, чтобы эта функция удовлетворяла начальному условию ф(х0,С0) = у0.
5. Гладкость решения у = у(х) уравнения (1) зависит от гладкости его правой части /(х,у). Справедливо следующее утверждение.
Лемма 4. Если функция f(x,y) имеет в области D непрерывные частные производные по х и у до к -го (к > 0) порядка включительно, то любое решение у = у(х) уравнения (1) имеет на промежутке (хх,х2) непрерывные производные до (k +1) -го порядка включительно.
Действительно, пусть к = 0 и у(х) - произвольное решение уравнения
(1). Тогда имеет место тождество
У'(х) = f(x,y(x)), хх<х<х2. (15)
Поскольку функция у(х) удовлетворяет на (x,,x2) уравнению (1), то она всюду на (хх,х2) имеет производную по ^ и поэтому непрерывна на этом интервале. По условию fix,у) непрерывна в D по х и у. Тогда правая часть (15) непрерывна по х на (x,,x2). Следовательно, у'(х) также непрерывна на (х{,х2). Пусть теперь к> 1. Тогда правая часть тождества (15) имеет непрерывную производную по х. Значит, и левая часть этого тождества имеет непрерывную производную по х, т.е. y(x)sC2(xl,x2). Продифференцировав тождество (15) по х, имеем
/(*) = Л(х’ X*)) + Гу О, у{х)) /О) ¦
Применяя к последнему тождеству те же рассуждения, какие мы применили к
(15), при к >2 найдем, что у(х)е.Съ(х1,х2) и т. д.
2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
У[= fx(x, Ух, Уг,-> Уп)’
Уг = /20, Ух, У2, •••> Уп)>
(16)
