Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
— = -p(x)dx.
У
Интегрируя полученное уравнение, находим
\n\y\ = -\p(x)dx + \nCx , \y\ = Cxe^P(x)dx, Сх> 0, или, полагая С = ±СХ, получим общее решение уравнения (10)
y = Ce-!p(x)d\ (11)
Отметим, что в общем решении (11) постоянная С может равняться нулю,
так как j/ = 0 является решением уравнения (10). Теперь найдем общее решение неоднородного линейного уравнения (9). Для этого воспользуемся общим решением (11) соответствующего однородного уравнения (10). Общее решение уравнения (9) будем искать в виде
у = С(х)еЫх)ах, (12)
где будем считать С не постоянной, а неизвестной функцией от х. Подставляя
функцию (12) в уравнение (9) получим
С'(х)е^рШх - C(x)elplx)dx ¦ р(х) + p(x)C(x)e^p(x),ix = f{x),
или
С(х) = ^f{x')Jp(x)dxdx + Cl.
Тогда окончательно, подставляя значение С(х)в (12), находим общее решение уравнения (9):
y = elp{x)dx[\f{x)elp(x)dxdx + Cl\.
или
у = e-ip(x)dx\f(x)Jp(x)dx + Cle''p(x)dx. (13)
Отметим, что общее решение (13) уравнения (9) состоит из двух слагаемых, из которых первое является частным решением уравнения (9),
получаемого из общего решения (13) при С, =0, а второе является общим
решением соответствующего однородного уравнения (10).
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
(14)
dx х
Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение
^-^ = 0. (15)
dx х
Разделяя в уравнении (15) переменные и интегрируя, получим
— = —, In I _у I = In I х | + In I Cj |, у = С х , CsR. у х
Общее решение уравнения (14) будем искать в виде
у - С(х) х .
Подставляя это в исходное уравнение (14), имеем
dC х2
—х + С-С = х2, dC = xdx, С(х)= — + С,.
dx 2
Отсюда
(х2
у = С(х)х= — + с,
ч 2 j
г- , х X или у = С,хч-------------.
1 2
х3
Ответ: у - Сх + — , С - произвольная постоянная.
Некоторые дифференциальные уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимую переменную. Например, уравнение
у = (х + у3)у
является нелинейным относительно искомой функции у = у(х). Если его перепишем в другом виде
dx 1 2
-------х = у ,
dy У
то оно становится линейным относительно х = х(у).
К линейному уравнению сводится уравнение Бернулли
У + а(х) у = Ь(х) уа , аФ 1, где а(х), Ь(х) - заданные на <а, (5 > непрерывные функции. Замена неизвестной функции z = ух~а приводит уравнение Бернулли к линейному дифференциальному уравнению относительно z = z(x):
—-— z' + a(x)z = b(x).
1 -a
Уравнение Риккати
У + a(x)y + b(x)y2 = с (x), где a(x), b(x), c(x) - заданные на <a, /3 > непрерывные функции, в общем случае не решается в квадратурах. Если же известно хотя бы одно его частное решение ^(х), то заменой у = yt (х) + z(x) уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли
z' + [а(х) + 2b(x)y1 (х)] z = -b(x) z1.
6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (16)
называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.
dU(x,y) =-----dx +----dy = P(x,у)dx + Q(x,y)dy. (17)
dx dy
В случае уравнения (16): dU(x,y) = 0 и поэтому если известна функция U (х, у), то формула
U (х, у) = Сх = const (18)
определяет все решения уравнения (16). В этом случае говорят, что равенство (18) определяет общий интеграл уравнения (16), т.е. изменяя Сх, получим множество всех решений уравнения (16).
Как узнать, что (16) является уравнением в полных дифференциалах? Как известно из курса анализа (см. гл. 1, § 20, п. 3), для того чтобы левая часть уравнения (16) была полным дифференциалом некоторой функции U(х,у) в односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы
