Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
R3, то уравнение (8) определяет в i?3 некоторую поверхность S. Координаты точек поверхности S могут быть выражены как функции двух параметров и и v. Пусть нам известно параметрическое представление поверхности S :
х = <р(и,о), у = у/(и,о), р = х{и,о). (9)
Подставляя в равенство dy = pdx (так как р = dy/dx) выражения р , dy и dx из (9), получим
^Tdu+^T dv = x(u, v)
ди до
dip дер , — du + — do
ди до
Это есть уравнение первого порядка между и и о. Считая, что о = о(и), последнее равенство можно написать в виде
д<р дц/
ди _ ди ди
ди дц/ дер
~ 7 до до
Мы получили уравнение первого порядка, но уже разрешенное относительно производной о'. Если найдем его общее решение
и = со (и, с), с = const, то, подставляя это в (9), получим
х = ср[и, со{и, с)], у = ц/\и, со{и, с)] общее решение уравнения (8), выраженное в параметрической форме (и -параметр, с - произвольная постоянная).
Преобразование (9) легко находится, если уравнение (8) разрешается относительно х или у, тогда в (9) за параметры естественно взять у и р или х и р.
Пусть уравнение (8) разрешено относительно у
y = f(x,p). (10)
В этом случае равенство dy = pdx, если принять за параметры х \л р , принимает вид
д/ Л д/ л л
— dx + —dp = pdx
дх др
или
df df dp
— + = p. (11) dx dp dx
Полученное равенство (11) представляет собой уравнение первого порядка, разрешенное относительно dp/dx. Общее решение его можно записать в виде однопараметрического семейства
р=ф{х,с). (12)
Подставляя (12) в (10), получим общее решение исходного уравнения (10) в виде
y = f(x, (р(х, с)).
Отметим, что уравнение (11) можно получить также из (10), дифференцируя обе его части по х и заменяя dy/dx через р = р(х).
Пусть теперь уравнение (8) разрешено относительно л::
x = f(y,p)- (13)
Дифференцируя обе части уравнения (13) по у и учитывая то, что dx/dy = \/р , получим
1=? + ?*. (14,
р dy dp dy
Уравнение (14) представляет дифференциальное уравнение между у и р{у). Найдя его общее решение р = ц/(у, с) и подставляя последнее в (13), получим его общий интеграл
x = f(y, V(y, с)).
Пример 2. Решить уравнение
у’-\пу'+ х-у = 0 . (15)
Решение. Данное уравнение легко разрешить относительно у и х. Разрешим его относительно у
у = у'-]пу' + х.
Введем параметр p-у'. Тогда получим
у-р-\пр + х. (16)
Дифференцируем обе части последнего равенства по х. Тогда получим
dy dp I dp
— = —---------— + 1 = p
dx dx p dx
или
P-1 P
а) Пусть рФ 1, тогда
dp = (p-\)dx.
dx - — или x = In p + с .
P
Подставляя это в (16), получим решение уравнения (15) в параметрической форме
х = Ыр + с, у-рл-с. (17)
В этом случае можно исключить параметр р и получить решение уравнения
(15) в явном виде. Для этого из первого уравнения (17) находим р = ех~с и, подставляя во второе уравнение из (17), имеем
у = ех~с + с.
б) Пусть р = 1. Подставляя р = 1 в (16), получаем еще одно решение уравнения (15): у = х +1.
2. Уравнения Лагранжа и Кперо. Уравнение (1) линейное относительно х и у , т.е. уравнение вида
А(р)у + В(р)х = С(р), р = у', где коэффициенты А, В, С - данные дифференцируемые функции от производной р = у', называется дифференциальным уравнением Лагранжа. Разрешая это уравнение относительно у (считая А(р)фО), приводим его к виду
у = ср(р)х + ц/(р). (18)
Дифференцируя уравнение (18) по х, получим
^- = Р = (Р'(Р)^- х + ср(р) + ц/'{р)^-. (19)
dx dx dx
Если в (19) рассматривать х = х(р), то получим линейное уравнение (при Р(Р)*Р)
Уравнение (20), как известно, интегрируется в квадратурах. Пусть
х = Л(р,с) его общее решение. Тогда подставляя х = Я(р,с) в (18), находим
