Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
прежде чем они возвратятся в конце концов к своим устойчивым значениям
х0, у0 и z0.
4.7. Модельная система управления синтезом фермента
173
Следует отметить экспериментальные исследования Марека и Штух-ла (1975)
по реакции Белоусова. Они изучали сопряженные колебательные реакции
Белоусова и обнаружили интересные свойства "захвата". Математический
анализ такой системы может оказаться весьма полезным и интересным, имея в
виду такие замечательные экспериментально наблюдаемые явления, как
синхронизация, усиление амплитуды, расщепление частоты и т.д.
Модельный механизм (4.66)-(4.70) сделало достойным такого глубокого
изучения то, что он вполне адекватно отражает практически наблюдаемые
колебания, широко изученные экспериментально. Он содержит только
бимолекулярные стадии, а потому это должна быть подлинно трехкомпонентная
модель. Приближенная система (4.91) на самом деле представляет собой
двумерный механизм, но он, конечно, не бимолекулярный. Как мы увидим в
гл. 5, модельный механизм
(4.66)-(4.70), в котором допускается пространственная диффузия реагентов,
приводит к интересным утверждениям о бегущих волнах, которые также хорошо
согласуются с экспериментом.
4.7. Модельная система управления синтезом фермента
Гудвин (1963, 1965) высказал предположение, что клеточное деление связано
с автономным колебательным сигналом, и обсудил несколько аспектов
процессов управления типа отрицательной обратной связи. В частности, он
предложил модели синтеза белка, которые могут проявлять колебательные
свойства. Здесь мы обсудим один из простейших предложенных им механизмов
генетического управления. Основная модель, которую мы опишем, в
действительности не имеет периодических решений. Мы обсудим ее как важный
пример моделирования и в разд. 4.8 покажем, как' модификация этой модели
приводит к периодическому поведению. В разд. 4.8 обсуждается также совсем
другая модификация, которая приводит к иной концепции моделирования. В
последующем будет полезно обращаться к рис. 4.11, поскольку
математическая модель будет трехкомпонентной.
В этой модельной схеме регулирующий ген G производит информационную
рибонуклеиновую кислоту (мРНК), концентрацию которой мы обозначим через
X. Затем мРНК взаимодействует с рибосомами1', и образуются молекулы
фермента, концентрацию которого мы обозначим через Y. Фермент в свою
очередь катализирует реакцию с некоторым субстратом с концентрацией S.
Часть продукта этой реакции представляет собой репрессор, концентрацию
которого мы обозначим через Z. Репрессор поступает назад к регулирующему
гену, подавляя
'' Рибосомы-это небольшие внутриклеточные органеллы, состоящие из
нуклеиновой кислоты и белка и представляющие собой центры синтеза белка.
174
Гл. 4. Биологические осцилляторы I. Однородные колебания
его генетическую активность, так что мРНК не может производиться. Этот
процесс представляет собой простую цепь управления с замкнутой петлей
обратной связи.
Мы должны теперь вывести уравнения, описывающие динамику концентраций
трех главных реагентов, а именно мРНК, фермента и репрес-сора,
обозначенных соответственно X, Y и Z, и проанализировать эту систему
уравнений.
Рассмотрим вначале мРНК (X). Скорость ее распада мы примем просто
пропорциональной ее концентрации. Скорость образования найти не так
просто. Обозначим число генов G через п, а долю генов, не
В (Ген-рееулятор)
Рис. 4.11. Модель управления синтезом фермента посредством гена-
регулятора.
соединенных с молекулами репрессора,. через /; таким образом, fn и (1 -
у) и-соответственно число генов без присоединенного репрессора и с ним.
Предположим, что скорость, с которой молекулы репрессора отделяются от
генов, пропорциональна (1 - ])п, а скорость, с которой молекулы
репрессора присоединяются, пропорциональна произведению fn на
концентрацию Z молекул репрессора. С биологической точки зрения
естественно считать эти реакции достаточно быстрыми по сравнению с
другими реакциями системы, чтобы они все время находились в равновесии;
это означает, что
(1 -f)n = afnZ,
где а-константа равновесия реакции. Последнее уравнение дает долю /
генов, не подверженных действию репрессора, в виде / = (1 + aZ)-1.
Предположим теперь, что скорость образования мРНК пропорциональна /.
Тогда кинетическое уравнение для концентрации мРНК X можно
4.7. Модельная система управления синтезом фермента
175
записать в виде
dX Ь
Х = ~1Г = -ГГ~^ - сХ, (4.92)
dt 1 + aZ
где а, b и с-положительные константы. Уравнение (4.92) согласуется с тем,
что скорость образования мРНК высока, если молекул репрессо-ра мало (Z
мало), и низка, если молекул репрессора много (Z велико).
Если мы предположим, что рибосомы имеются в достаточном количестве, так
что их концентрация существенно не меняется, то
кинетическое уравнение для концентрации фермента Y разумно
взять просто
в виде
• dY
Y=-- = dX-eY, (4.93)
dt
где d и е- положительные константы. Это означает, что скорость
