Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 64

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 154 >> Следующая

(1976)):
Таблица 4.2
JCi = k3 [Н + ]2 а 2.1 моль " 1 • с " 1
K2=fc2[H + ] а 2-109 моль-1 с-1
К3=/с5[н + ] а 104 моль"1 • с" 1
К4 = fc4 а 4 • 107 моль "1 • с ~ 1
К5 а 0.4 [ВгСН (СООН)2] моль - 1 • с ' 1 для [ВгСН (COOHJJ " 2 • 10 " 1
моль
Для приведения системы (4.71)-(4.73) к безразмерному виду введем
4.6. Линейный и глобальный анализ модельной системы
163
переменные
х(х) = -j^-д X х 1.6- Ю10 (моль/л) 1 [НВг02], у(х) = 3.3-106 (моль/л)-
1 [Вг-],
2(т) = z ~ 5-3'103 (моль/л)-1 [СеIV], (4.75)
2i\ j л. j л
х = KxAtx 1.3-10"1 (c_1)t, е= 210-4,
311°2. 4 = ^^-*8.4-ИГ6,
Л.5 Л2Л3
в которых модельные уравнения принимают вид
dx , , ,. _.ч
е = ех = х + у - ху - qxz, (4.76)
ах
= у' = 2/z - у - ху, (4.77)
ах
р-^- = pz' = х - z, (4.78)
dx
где штрих означает дифференцирование по х. Эту систему мы подробно
рассмотрим в следующем разделе. Заметим мимоходом, что из того факта, что
в (4.76) ? " 1, следует, что соответствующая реакция большую часть
времени находится практически в равновесии. Так как е = Кх/Кг, то условие
?" 1 означает, что в модельном механизме (4.66)-(4.70) третья
(автокаталитическая) реакция является быстрой по сравнению с первой.
4.6. Линейный и глобальный анализ модельной системы
Мы будем следовать в основном элементарному анализу, приведенному в
работе Марри (1974).
164
Гл. 4. Биологические осцилляторы I. Однородные колебания
Удобно записать (4.76)-(4.78) в векторной форме:

:)
/1
- (х + у - ху -8
2/z - у - ху (4 ?9)
/
X
Г = I У > t = E(i; е, р, q,J), F =
г.
Возможность колебательных решений почти всегда связана с существованием у
рассматриваемой системы уравнений по крайней мере одного неустойчивого
ненулевого стационарного состояния. Эта точка в г-пространстве окружена
траекторией периодического решения1'. Стационарные состояния системы
(4.79) нетрудно найти, положив г' = 0, откуда находим две точки
Есть еще одно стационарное состояние, для которого х0 < 0, но оно,
конечно, лишено физического смысла. В (4.80), если q ^ 0, / ^ 0, то *о >
Уо > zo 2= 0.
Устойчивость стационарных состояний исследуется путем линеаризации
системы (4.79) около г = 0 и г = г0. Рассмотрим сначала равновесное
состояние г = 0. Линеаризованную форму системы (4.76)-(4.78) получаем,
просто пренебрегая квадратичными членами:
Собственные значения X матрицы М являются решениями уравнения
М - 7./| = 0 => ?рХ3 - X2 (р - е - ер) - X (р + 1 - е) - (1 + 2J) = 0.
2/х
zo =7 *0. Уо = = 7а (1 + 2/ - qx0), (4.80)
1 + х0
2qx0 = (1 - 2f-q) + [(1 -If- q)2 + 4g(l + 2/)]1/2.
11 Речь идет о возникновении предельного цикла при малом б; при этом
можно приближенно считать, что цикл содержится в плоскости, проходящей
через точку покоя-Прим. ред.
4.6. Линейный и глобальный анализ модельной системы
165
Три решения Х2 и >,3 этого уравнения удовлетворяют соотношению ~ (1 +
2/)/ер > 0, так что есть по крайней мере один корень с положительной
действительной частью, и состояние равновесия г = О неустойчиво.
Колебательное решение, окружающее г = 0, физически неинтересно, так как
оно с необходимостью захватывает область отрицательных значений для х, у,
z, т.е. отрицательных концентраций.
Для равновесного состояния г = г0 запишем
и = х - хп
v = у - у0,
W = z - zn
и система (4.76)-(4.78) превращается в систему уравнений для возмущений
ей' = - au - bv - uv - qu2,
v' = 2fw - cu - dv - uv, pw' = и - w,
(4.81)
где для q ^ 0 и / > 0
Vfl
a = - 1 4- 2qx0 + y0 = qx0 -I > 01 ',
x0
b = x0 - 1 > 0, если q < 1, с = y0 > 0, d = x0 + 1 > 0.
(4.82)
Линеаризованную систему получаем из (4.81), пренебрегая нелинейными
членами uv и и2:
Iй] lU\ I-7 ь е 0
v' = N V N = -с -d 2/
\ W {wj 0 -7
\
Собственные значения X находятся из уравнения JV - XI \ =0. В развернутом
виде после простых преобразований оно записывается так:
*.3 + А.Х2 + ВХ + С = 0,
а 11
А = - d - - Е -1- -, е р р
11 Второе равенство получается из выражения (4.80) для у0 и квадратного
уравнения для определения х0.-Прим. ред.
166
Гл. 4. Биологические осцилляторы I. Однородные колебания
"ad d a be 1 _ 1 г" •> , -л
В =-------1-----h --------------------- -Е Н [2qx0 + х0 (q - 1) + 2f],
е р ре Е р е
С = -(ad - Ьс + 2/Ь) = -(2qx0 + q + 2/- 1), (4.83)
ер ер
г Уо , Л , ,i 1 _ "хо , Уо , v ^ t ^ п
Е - - + I 1 Ч (Хл + 1 - - ----------------1 Ь х0 4- 1 >
0.
е \ г J ее ех0
Здесь а, Ь, с и d даются выражениями (4.82), а х0 и уо-(4.80).
Чтобы стационарное состояние г = г0 было неустойчивым, по крайней мере
один корень (4.83) должен иметь положительную действительную часть.
Необходимые и достаточные условия того, чтобы все решения (4.83) имели
отрицательную действительную часть, вытекают из критерия Гурвица
А > 0, С > 0, АВ - С > 0. Поскольку, согласно (4.83) и (4.80),
А = Е + - > 0,
Р
(4.84)
С = ^(2qx0 + q + If- 1) = ^-[(1 - If- qf + 4*(1 + 2fl]1'2 > 0, ep ep
то для неустойчивости должно нарушаться третье условие (4.84).
Подстановка А, В и С из (4.83) в условие АВ - С > 0 приводит к
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed