Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 65

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 154 >> Следующая

квадратичному по 1/р- выражению в левой части:
АВ
- С = \ + \е2 + -(1 -Р L е
' 1
х0) - +
J Р
+ - Рqx20 + х0 (q - 1) + 2f] > 0; е
здесь Е и х0 не зависят от р (а только от /, q, е). Поскольку физический
смысл имеют лишь значения р > 0, последнее условие нарушается для тех
значений р, для которых 1)
о<-< _ JL
р 2 Е
2 f
Е2 + - (1 - Хо) е
+

Е2 + ^(1 - Хо) ?
Е2
- 4-^-[2qx% + х0(q - 1) + 2/]
1/2
(4.85)
/ Здесь используется тот факт, что Е = О^-поэтому при малом е будет
Е2 + (2//е)(1 - х0) > О.-Прим. ред.
4.6. Линейный и глобальный анализ модельной системы
167
i
Ненулевой диапазон положительных р существует только в том случае, если
правая часть (4.85) положительна, а это означает, что
2qx$ + х0 (q - 1) + 2/ < 0. (4.85*)
Отсюда мы находим критическое бифуркационное значение для / (обозначим
его /с), определяемое путем приравнивания нулю левой части последнего
неравенства, в котором х0 выражается через / и q с помощью (4.80). В
результате получаем
4* (1 + X) = (4/с + q - 1) [(1 - 2/с -q) +
+ {(1 - 2fc - q)2 + 4q{l+ 2?)}1/2]- (4.86)
Если взять q ~ 8.4• 10~6 из (4.75), последнее уравнение дает два значения
для /., а именно приблизительно 0.25 и 1.206, так что/должно лежать между
ними:
0.25 " Jt </< Je " 1.2061>. (4.87)
Граница области устойчивости в плоскости {f, 1/р) получается из (4.85) в
виде
7 - - i[?i + f(1 - *"'] + i{[?2 +1" - ""'Г -
Е2 - 11/2
- 4 - [2qxl + x0(q - 1) + 2т , (4.88)
причем / принимает значения из диапазона t/c < / < X гДе i/o 2/.-решения
уравнения (4.86), Е приведено в (4.83), а х0, у0 вычисляются по формуле
(4.80) для каждого /.2) Эта граница приведена на рис. 4.8.
Для данного р из диапазона 0 < 1/р < 1 /Ркрит (здесь 1 /ркрит " Ю4) точка
г0 устойчива, когда/возрастает от нуля, пока оно не достигнет критической
бифуркационной точки, лежащей на кривой, заданной уравнением (4.88). Для
достаточно больших / и, конечно, для всех / > 1fe (здесь 2/ ~ 1.206)
точка равновесия г0 вновь устойчива. С другой стороны, для данного / из
области неустойчивости при достаточно большом 1/р, и во всяком случае при
1/р > 104, точка г0 вновь устойчива.
Теперь мы должны для р и / из области, в которой состояние равновесия г0
неустойчиво относительно малых возмущений, рассмотреть глобальную
нелинейную устойчивость.
Как и в случае двумерных систем, первым шагом доказательства
существования колебательных решений конечной амплитуды будет про-
11 Это легко обосновать, рассматривая знак dx/dt при х < Xj и х > х2,
затем знак dz/dz при xt ^ х ^ х2, z < z2 и 2 > z2 и т.д,.-Прим. ред.
168 Гл. 4. Биологические осцилляторы I. Однородные колебания
верка того, что система глобально устойчива к конечным возмущениям. Это
означает, что должна существовать такая замкнутая поверхность В, что
любое решение, находящееся внутри В в момент времени т0, остается там при
всех т > т0. Для этого нужно, чтобы у любого решения г, лежащего на В,
di/dz было направлено вовнутрь; Йели мы обозначим через п единичную
внешнюю нормаль к В, то это условие глобальной устойчивости будет иметь
вид (сравните с (4.21))
dr
п • -< 0 для г на В. (4.89)
- ат
Проверка того, что г0 неустойчиво и что существует конечная замкнутая
поверхность В (лежащая, конечно, в положительном квадранте),
Рис. 4.8. Кривая линейной устойчивости в плоскости параметров f р для
системы (4.79).
на которой г удовлетворяет условию (4.89), недостаточна для
доказательства существования периодического решения, как это имеет место
в двумерном случае, если неустойчивая точка соответствующего типа и
применима теория Пуанкаре-Бендиксона. Однако эта проверка подсказывает,
как продолжать исследование дальше. Поэтому мы найдем такую поверхность В
и покажем, что она окружает, как это и должно быть, предельный цикл,
вычисленный Филдом и Нойесом (1974). Строгое доказательство того, что
система (4.79) имеет по крайней мере одно периодическое решение,
основанное на теореме Брауэра о неподвижной точке, вместе с анализом
поведения траекторий в окрестности этого цикла было дано Хастингсом и
Марри (1975).
4.6. Линейный и глобальный анализ модельной системы
169
I
Рассмотрим здесь одну из простейших поверхностей В, а именно
прямоугольный параллелепипед, окружающий г0, с ребрами, параллельными
осям х, у и z. Рассмотрим вначале плоскости х = и х = = х2, где 0 < xt <
х0 < х2. Пусть i, ] и k-единичные векторы положительных направлений осей
х, у и z. Тогда на х = х( n = - i, и из (4.89) следует, что
.dr dx r
-!•- =-------< 0 =з> [х + у - ху - qx ]х = Хх> 0.
При 0 ^ q " 1 в силу (4.75) и того, что xt = О (1), последнее неравенство
требует (приближенно)
xt + у(1 - xt) - qx\ и Xj + у(1 - Xj) > 0 для всех у > 0.
Таким образом, естественной границей для х < х0 может быть Xi = 1,
которую мы выберем в качестве первого приближения для ограничивающей
поверхности. Тогда
. dr
- (1 - q) < 0, если q < 1.
X = X, = 1 Б
На х = х2 имеем n = i, и условие (4.89) требует теперь dr dx r
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed