Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Важное следствие искажения пуазейлёвского профиля скорости и наличия вторичных течений состоит в появлении областей (в частности, около наружной стенки изгиба, рис. 5.16), где скорости сдвига значительно выше, чем в пуазейлевском потоке. Высокие
Вход в изогнутую часть трубки
Рис. 517 Искажение плоского профиля скорости при входе в изогнутую часть трубки
скорости сдвига приводят к высокой скорости диссипации механической энергии из-за наличия вязкости. Таким образом, при продвижении среды через изогнутую трубку необходимо совершать большую работу, чем когда трубка прямая. Другими словами, градиент давления, необходимый для поддержания заданного объемного расхода, в изогнутой трубке больше, чем в прямой Если изогнутая трубка затем переходит в прямую, то в потоке за изгибом на некотором расстоянии еще будут представлены описанные выше вторичные течения. Постепенно затухая, они исчезнут совсем, и на достаточно большом расстоянии от изгиба вновь установится пуазейлевский поток. Длина трубки, на которой существуют вторичные течения и возмущения, сравнима с определяемой уравнением (5.4) длиной начального участка для пуазейлевского течения в прямой трубке.
В изогнутой трубке, как и в прямой, у стенок образуется тонкий пограничный слой. Однако профиль скорости в ядре потока, где роль вязкости несущественна, далек от плоского, каким он был на входе в изгиб. Эксперимент показывает, что скорость жидкости у внутренней стенки больше, чем у наружной (рис. 5.17). Этот эффект можно объяснить с помощью теоремы Бернулли [уравнение (4.6)], которая для потока в горизонтальной плоскости (когда сила гравитационного притяжения не сказывается) гласит, что величина
Я = р + |ры2 (5.14)
постоянна вдоль каждой линии тока; как и ранее, здесь р, р и и соответственно плотность, давление и скорость. Ввиду того что каждая линия тока начинается из области, где р и и одинаковы во всех точках, константа Н имеет одно и то же значение для всех линий тока. Далее, хотя на начальном участке явные вторичные движения в ядре потока отсутствуют, потому что все элементы жидкости имеют примерно одинаковую скорость, должен существовать боковой градиент давления, заставляющий жидкость двигаться по изогнутым траекториям. Следовательно, у наружной стенки р больше, чем у внутренней, и чтобы величина Н оставалась постоянной во всех точках сечения, скорость среды и у наружной стенки должна быть меньше, чем у внутренней.
Вторичные течения будут малы до тех пор, пока толщина пограничного слоя не станет достаточно большой и не установится полностью развитый поток. Однако недавние эксперименты и теоретические исследования показали, что детальная картина течения внутри пограничного слоя, где слабые вторичные течения возникают сразу, зависит от кривизны стенок. Это приводит к интересным последствиям, для объяснения которых удобнее всего воспользоваться понятием скорости сдвига. Если бы пограничный слой был одинаков по всему периметру поперечного сечения, то скошенность профиля скорости в ядре создавала бы условия, при которых скорость сдвига у внутренней стенки была бы больше, чем у наружной. Однако вторичные течения, зарождающиеся в пограничном слое, приводят к тому, что уже на расстоянии от входа порядка одного диаметра трубки картина изменяется на противоположную: как и в полностью развитом потоке, наибольшая скорость сдвига достигается ближе к наружной стенке.
5.9. Обтекание тел
До сих пор мы говорили о течении жидкости по трубкам или по системе трубок и при этом установили, что наиболее сложные картины течения возникают при одновременном действии вязких и инерционных сил, например в начальном участке трубки. Еще одним примером ситуации, когда имеет место подобное сочетание сил, служит обтекание жидкостью твердого тела. Мы рассмотрим этот пример подробно по двум причинам: во-первых, он помогает глубже понять общие свойства движущейся жидкости, а во-вторых, многие из возникающих при обтекании тел явлений знакомы нам из повседневного опыта. 4
Пусть тело погружено в жидкость полностью, так что поверхностные волны не Ёозникают — наличие таких волн исказило бы всю картину. Для удобства представим также, что тело является очень длинным цилиндром и жидкость течет перпендикулярно его оси, поэтому вблизи средней части цилиндра влияние его торцов пренебрежимо мало, а составляющие скорости, параллельные оси
цилиндра, отсутствуют. Это означает, что течение в этой области по своему характеру таково, как будто цилиндр бесконечно длинный; вектор скорости любого элемента жидкости всюду лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, и зависит от положения элемента в данной плоскости и от времени, но не от расстояния воль оси цилиндра. В этом случае о потоке говорят, что он двумерный-, его гораздо легче представить наглядно, чем трехмерный поток. Пусть, кроме того, все другие Границы жидкой среды настолько удалены от цилиндра, что не оказывают влияния на течение; тогда среду можно считать бесконечной. Наконец, будем сначала рассматривать только цилиндр с круглым поперечным сечением, так как эта форма удобна и именно для нее выполнены многие теоретические и экспериментальные исследования. Поскольку важно лишь относительное движение среды и тела, безразлично, что именно движется — среда (скажем, ветер, обдувающий здание) или само тело (например, самолет, движущийся в воздухе, или песчинка, опускающаяся на дно лужи). Обычно легче наблюдать поток, когда тело неподвижно, хотя иногда более полезным оказывается противоположный подход. Мы будем изучать такие системы, когда тело имеет постоянную скорость относительно удаленных от него областей среды. Это означает, что поток в целом стационарен, если рассматривается неподвижное тело, и нестационарен, когда тело движется в среде, неподвижной на достаточно большом удалении от него.
