Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
^~А(у2 — ух).
С другой стороны, мы можем получить порядок величины силы инерции. Пусть рассматривается толщина пограничного слоя на расстоянии X от входа в трубку; время прохождения среды от входа до сечения X (время переноса) имеет порядок величины X/U. Тогда конвективное ускорение среды на расстоянии X имеет масштаб U/(X/U), или U2/X.
Приравняв порядки величин сил, мы получим соотношение
рХ-х- = *|1 (ж)’
где k — численная постоянная, величину которой следует определить экспериментально. Таким образом, мы приходим к выводу, что ___ ___
босд^^-, или 6ос/^~~. (5.3)1)
Из уравнения (5.3) видно, что толщина пограничного слоя растет вдоль трубки2) как корень квадратный из расстояния от входа (см. рис. 5.5), т. е. как Х1/2. С увеличением расхода или скорости свободного потока толщина пограничного слоя во всех точках уменьшается. При данном расходе толщина слоя увеличивается с ростом вязкости жидкости.
Проведенный анализ дает очень хорошую оценку толщины пограничного слоя для области, примыкающей к входу в трубку, т. е. там, где величина б мала по сравнению с радиусом трубки. Однако когда толщина пограничного слоя становится довольно
') Здесь v = ц/р — кинематическая вязкость жидкости. — Прим. ред.
2) Применение подобных рассуждений для пограничного слоя на стенке трубки требует, вообще говоря, учета градиента давления в балансе сил, однако можно доказать, что это не скажется на окончательных выводах. — Прим• ред.
большой, характер изменения ее роста меняется, так как в каждом поперечном сечении начинает сказываться взаимозависимость скоростей роста толщины пристеночного слоя в соседних точках периметра сечения. В результате взаимодействия соседних областей пограничного слоя его формирование несколько замедляется. Тем не менее из уравнения (5.3) можно оценить расстояние, при котором пограничный слой заполняет всю трубку и устанавливается течение Пуазейля. В этом случае его толщина становится равной радиусу трубки d/2. Следовательно,
Выражение Ud/v называется числом Рейнольдса (Re) в честь английского ученого, который первым выполнил многие важные исследования потоков в трубах; роль числа Рейнольдса в гидромеханике более подробно будет рассмотрена ниже. Константа k', определенная экспериментально, составляет примерно 0,03. Таким образом, длина начального участка для стационарного потока в прямой трубке задается выражением
Для трубки диаметром 2 см длина начального участка составит при числе Рейнольдса 1000 около 60 см — именно эти значения были бы характерны для аорты человека, если бы она была прямой трубкой, а поток в ней — стационарным и имел скорость 0,2 м*с-1.
Уравнение (5.4) удовлетворительно предсказывает длину начального участка только при значениях числа Рейнольдса в интервале от 10 до 2500. Когда Re очень мало (меньше единицы), влияние инерции несущественно, а длина начального участка чуть больше одного диаметра трубки. Когда же Re превышает 2500. характеристики потока резко отличаются от описанных выше: плавные линии тока отсутствуют, наблюдается турбулентность (разд. 5.5).
Ниже мы увидим, что течение на уровне микрососудов можно считать полностью развитым, а в крупных артериях оно близко к течению на начальном участке и к тому же усложнено из-за особенностей геометрии сосудов.
5.4. Число Рейнольдса
При анализе баланса сил, действующих на элемент жидкости, мы уже обращали внимание на отношение величин инерционных и вязких сил. В действительности это отношение является важной характеристикой всех течений жидкости.
Для потока в трубке характерными величинами скорости и размера системы являются U и d. Поэтому можно сказать, что
(5.4)
порядок величины (масштаб) вязких сил такой же, как у произведения вязкости на масштаб скорости сдвига (=|xU/d). С другой стороны, инерционная сила пропорциональна кинетической энергии единичного объема жидкости (рU2). Тогда относительная значимость этих двух величин может быть оценена как
Число Рейнольдса = Л!1еРционные силы д рШ = Ш_ g
Вязкие силы ц v '
где v — кинематическая вязкость жидкости (ц/р). Число Рейнольдса Re—безразмерная величина, и потому оно не зависит от
единиц, в которых измеряются различные входящие в него параметры, при условии, конечно, что эти единицы согласованы друг с другом. В этой книге мы всегда будем характеризовать рассматриваемый поток числом Рейнольдса. Оно применимо для описания потоков не только в длинной прямой трубке, но и вообще любого потока и рассчитывается из характерных величин скорости и размера системы. Например, рассматривая обтекание шара, используют в качестве таких величин диаметр шара и скорость жидкости вдали от него. Когда в предыдущем разделе мы вычисляли скорость увеличения толщины гидродинамического пограничного слоя в трубке, то получили уравнение (5.3), которое может быть представлено в виде
