Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Проведя подобные эксперименты с трубками различных диаметров d, мы увидим, что в области полностью развитого потока при данном градиенте давления объемный расход Q резко увеличивается с ростом диаметра, а именно — он пропорционален d*
') Символ Ар означает разность давлений между двумя произвольными точками 1 и 2; таким образом, это просто сокращенная форма записи выражения Pi — Pi. В общем случае hM означает разность между значениями величины в состояниях 1 и 2.
(рис. 5.2,В). Поэтому, если мы хотим, чтобы объемный расход через трубки с последовательно уменьшающимися диаметрами был постоянным, мы должны будем прикладывать к ним градиент давления, увеличивающийся как величина, обратная четвертой степени диаметра.
Можно поставить весьма наглядный эксперимент, который продемонстрирует, как меняется скорость потока в каком-либо поперечном сечении трубки на участке с полностью развитым потоком, т.е. покажет нам профиль скорости в потоке. Предположим, что мы быстро ввели в трубку (поперек нее) узкую полоску краски,
Рис. 5.1. Схематическое изображение длинной прямой горизонтальной трубки, в которой поддерживается стационарный поток. Показаны напорный и сливиой резервуары и боковые отводы для измерения давления.
как это показано на рис. 5.3; поскольку вода движется, эта полоска будет перемещаться с ней и постепенно растягиваться таким образом, как это показано на рисунке. Каждый небольшой отрезок полоски будет перемещаться вниз по течению со скоростью, равной местной скорости жидкости. Регистрируя положение полоски краски в различные моменты времени, мы сможем рассчитать профиль скорости. Этот опыт можно поставить и по-другому, вводя небольшие капли краски на разных расстояниях от оси трубки и следя за их движением. Как и ранее, мы увидим, что каждый отдельный элемент перемещается со скоростью, равной скорости движения жидкости в данной точке. При этом в процессе перемещения капля сохраняет радиальное положение: она не смещается к оси трубки или стенке и не совершает винтового движения. Это означает, что течение прямолинейное (осевое). Кроме того, оно симметрично, т. е. скорость жидкости на любом данном расстоянии от оси одна и та же независимо от того, какой радиальный луч мы-выбираем. Подобное течение называется осесимметричным. Ниже будет показано теоретически, что профиль скорости в действительности имеет форму параболы, причем скорость достигает максимума на оси и постепенно уменьшается до нуля у стенки.
В 1840 г. Пуазейль сделал первый шаг в изучении механики кровообращения, опубликовав результаты количественных иссле-
измеренное в диамет-
Рис. 5.2. А. Распределение давления вдоль трубки. Сначала (на начальном участке) давление резко падает, а затем на достаточно большом расстоянии от входа линейно уменьшается с расстоянием. Б. Вдали от входа градиент давления (Лp/L) является линейной функцией объемного расхода Q через трубку. В. Вдали от входа при постоянном градиенте давления объемный расход Q растет пропорционально четвертой степени диаметра d4.
дований течения в трубках для участков, удаленных от входного сечения; течения в этой области трубки носят теперь его имя. В своих исследованиях Пуазейль не только менял расход и раз-
'//////////////////^^^^
Начальное положение______
Яйпоски краски
Постепенно растягивающаяся полоска краски
Стационарные! ' ЛРТбК
Рис. 5.3. Узкая полоска краски, имевшая вначале вид поперечной прямой линии, под влиянием потока жидкости все больше и больше растягивается.
меры трубки, но и изучил влияние вязкости на характеристики течения. Он установил, что при увеличении вязкости для поддержания заданного постоянного расхода необходимо увеличить градиент давления. На основании своих экспериментов Пуазейль провел теоретический анализ течения и вывел знаменитый закон для
стационарного потока в части трубки, достаточно удаленной от ее начала:
128^. (5.1)
Здесь ц — вязкость жидкости.
Рассматривая физическую картину течения жидкости в этой части трубки, можно показать, как был выведен закон Пуазейля. Для этой цели применим условие баланса сил к среде в некотором сечении трубки. В гл. 4 уже было приведено в общем виде соотношение для совокупности сил, которые необходимо рассматривать при любом балансе [уравнение (4.5)]. При пуазейлевском
Рис. 5.4. При пуазейлевском течении наблюдается параболическое распределение скорости по диаметру трубки.
течении мы имеем дело с прямолинейным стационарным потоком, в котором жидкость движется без всякого ускорения, и поэтому левая часть уравнения (4.5) равна нулю. Кроме того, если мы рассматриваем поток в горизонтальной трубке, то гравитационные силы не существенны и член, представляющий массовые силы, также равен нулю.
Таким образом, условие баланса сил записывается в нашем случае в следующем виде:
Вязкие силы = —Сила, обусловленная градиентом давления.
Мысленно выделим в потоке жидкости ряд концентрических слоев, скользящих друг относительно друга так, как это показано на рис. 5.4, и проведем анализ баланса сил, действующих на отдельный слой с внутренним радиусом г и толщиной dr. Если падение давления на небольшой длине слоя L равно Ар, то обусловленная давлением результирующая сила, действующая на слой, равна произведению разности давлений на площадь поперечного сечения слоя:
