Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
о*
• —» *f(«,>0, /=1, 2, -..). (8)
т. е. если каждая из только что упомянутых случайных величин распределена по некоторому закону Пуассона, то мы будем называть данный сингулярный поток пуассонов-ским. Для полного описания такого потока достаточно, таким образом, задать все его «ступени» tt и соответствующие им значения щ пуассоновского параметра.
Если имеется только одна ступень tt и число наступающих в момент tf событий подчиняется пуассоновскому закону (8), то производящая функция числа событий, наступающих
в промежутке (а, 0), равна
Г I ехр{аДх—1)} (а«/,<Р),
1 ’ \ 1 в противном случае
Но в общем случае пуассоновский сингулярный поток представляет собою, очевидно, суперпозицию конечного или счетного числа элементарных потоков только что описанного типа, независимых между собою. Таким образом, для производящей функции общего пуассоновского сингулярного потока мы находим выражение
Г (х, а, р) = ехр {{х — 1) 2 «*}•
« sS <i< Р
При этом необходимо допустить, что ряд
2 а,=С(/)
сходится при любом t ^ 0; мы имеем
Г (jc, а, Р)=ехр {[С(Р) — С (а)] {х — 1)}.
Составим теперь суперпозицию данного пуассоновского сингулярного потока с регулярным ординарным потоком (имеющим, согласно § 2, форму (3)), ведущую функцию которого мы обозначим через Л (0, а производящую функцию через
Ф(*, а, р) = ехр {[Л (Р) — Л (а)] (х — 1)}.
Эта суперпозиция будет, очевидно, иметь тот же тип производящей функции, что и ее компоненты, с С(/)-|-Л(/) в качестве ведущей функции; образуемый ею поток имеет, следовательно, форму (3). Мы видим, таким образом, что суперпозиция двух взаимно независимых потоков, один из которых—регулярный ординарный, а другой — пуассоновский сингулярный с рядом значений параметра, сходящимся в любом конечном интервале, всегда является потоком вида (3).
Рассмотрим теперь произвольный поток без последействия вида (3), где Л (t) означает некоторую неубывающую функцию [Л(/) = 0 при t < 0|. Пусть г,, ... занумеро-
ванные в любом порядке точки разрыва функции Л (/). Положим
AU< + 0)-A(/<-0)=a<(/=l, 2, ...),2 «,=<;(*),
так что Л (0 — С (t) * Л* (f) непрерывная неубывающая функция. Положим далее
ехр {[С (Р) — С (а)] (х — а, Р),
ехр {[А* ф) — А*(а)](д: — 1)}=Ф* (*, а, Р), ехр{[А(р)—А(а)](д:—1)}=Ф(дс, а, р),
откуда
Ф(л:, а, р) = Г(х, а, Р)Ф*(л:, а, Р).
Оба множителя правой части этого равенства представляют собою производящие функции потоков типа (3), ведущие функции которых соответственно равны С(<) и Л* (0- Так как функция Л* (t) непрерывна, то второй из этих потокоз — регулярный; а так как это поток типа (3), то в силу результатов § 2 он должен быть ординарным.
Рассмотрим теперь первый поток с производящей функцией Г(л:, а, Р). Так как
С(р)-С(а)= 2 а<>
«sS Г(< ?
то
Г(л, а, Р)= П “Р {«/(* — 1)};
« *5 <i < ?
отдельный множитель произведения; стоящего в правой части этого равенства, имеет вид
exp {a, (jc — 1)} = е -*< ?
6=0
и, следовательно, представляет собою производящую функцию распределения Пуассона с параметром а,; следовательно, Г(х, а, Р) есть производящая функция пуассоновского сингулярного потока со ступенями tt и параметрами а<=Л(^-{--j-0) — A(it— 0), так что ряд
2 а,<Л(0
сходится при любом t^sQ.
Мы приходим, таким образом, к заключению, что любой поток типа (3) может быть представлен в виде суперпозиции двух взаимно независимых потоков, из которых один регулярный и ординарный, а другой — пуассонов ский сингулярный со сходящимися в любом конечном интервале рядом параметров.
Сопоставляя это с результатом, полученным выше, мы приходим к следующему предложению, которое и решает поставленную в настоящей статье задачу.
Теорема. Для того чтобы поток без последействия имел форму (3), необходимо и достаточно, чтобы он представлял собою суперпозицию двух взаимно независимых потоков, из которых один регулярный и ординарный, а другой — пуассоновский сингулярный, с рядом параметров, сходящимся в каждом конечюм интервале.
Разложение, о котором здесь идет речь, непосредственно определяется ведущей функцией А (t) данного потока: ступенями сингулярной компоненты служат точки разрыва функции \(t), в качестве параметра а, для ступени tt фигурирует величина Л(^-}-0) — Л(/,— 0); наконец, ведущими функциями компонент служат С(/)= У! а, (для сингулярной
uTt
компоненты) и A*(t)=A(t)—C{f) (для регулярной компоненты). ЛИТЕРАТУРА
[1] А. Я. Хннчин, Математические методы теории массового об служивання. Труды Матем. ин-та. АНСССР,49(1955), стр.1—122.
[2] А. Я. Хннчнн, Теория вероятностей и ее применения, 1 вып. 1 (1956), стр. 3—17.
О ФОРМУЛАХ ЭРЛАНГА В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ *)
