Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
[1—v9 (у— A, y4~ А) есть вероятность того, что в промежутке (у — A, y4“a) наступит по меньшей мере одно событие потока ?]. Но это означает, что y — регулярная точка потока L; а так как выбор этой точки произволен, то поток L—регулярный, ч. т. д.
Мы можем, таким образом, сформулировать результаты §§ 3 и 4 в виде следующего предложения.
Теорема I. Каждый регулярный поток без последействия имеет производящую функцию Ф(х, а, Р) вида (12), где функции %k(t) удовлетворяют требованиям 1°—4°; обратно, каждая такая функция Ф(х, а, Р) есть производящая функция некоторого регулярного потока без последействия.
Посмотрим теперь еще, какой вид принимает общая форма (12) для некоторых известных классов потоков без последействия.
1. Пусть данный поток при любом а^О удовлетворяет требованию
1 — (а, Р) — (а, р)=Д vk («. Р) = о (р — о) (р—*а + 0)
Ф* [1]> § 1)> и пусть при любом а ^ 0 существует предел 1-о„(а, 6)__________________________» . .
Тогда формула (9) леммы 10 легко дает Р
Xt(P) —X»(a) = SM“>da' Ха(Р) — X*(a) = 0 (А>1),
«
откуда в силу свойства 4°
е
X. (Р) — X, (а)==—(и) du,
а
и формула (12) получает вид
Ф(х, а, Р)*=ехр|(д:—1) J А, (и) .
Это — давно известный результат (см. [1], стр. 17*), или [6], стр. 183).
2. Пусть данный поток — стационарный; положим
Нш I—-= Д, lim (k 0);
t->+о 1 /->-(-# *
тогда формула (9) леммы 10 дает при любом t&s 0
%k(t)—%tpk {к5*1), х»(*)=—И
и формула (12) получает вид
Ф(х, 0, <) = ехр Р***— l)|.
Это полностью совпадает с формулой (8.6) ([11, стр. 31) и является известным результатом Редхеффера [2J и автора.
§ 5. Общая форма финитных потоков без последействия
До сих пор мы рассматривали только регулярные потоки, т. е. такие, ведущая функция А(/) которых всюду непрерывна. Теперь мы обратимся к рассмотрению любого финитного потока без последействия, так что функция A (t) всюду
*) Пользуюсь случаем указать на грубую опечатку: под зна-
ком последней суммы стр. 17 [1] пропущен множитель jr.
конечна, но может быть как угодно разрывной. Как мы знаем из § 2, точки разрыва функции А (/) — это сингулярные точки данного потока.
Условимся теперь называть поток S сингулярным, если он обладает следующими тремя свойствами:
1) События потока 5 могут наступать лишь в некоторые заранее определенные моменты времени; эти моменты, которые мы будем называть ступенями потока S, образуют не более чем счетное множество.
2) Числа событий, падающих на различные ступени, представляют собою взаимно независимые случайные величины.
3) Пусть д%> (*5*0, /5*1) означает вероятность того, что на ступень it придется к событий; тогда при любом *>0
2 2 М)<+°°*
Свойство 2) выражает собой отсутствие последействия, а свойство 3) — финитность потока S. Очевидно, сингулярный поток однозначно определяется заданием чисел tt и tfp (i 5s 1, k 5s 0). Структура такого потока представляется поэтому совершенно прозрачной: выбор чисел tt и q^> под-
00
чинен только требованиям t{^0, и 2 0*)== *
А=0
(/=1, 2, ...), в остальном же остается произвольным.
Пусть теперь нам дан произвольный финитный поток К без последействия. Обозначим через tt, ... сингуляр* ные точки этого потока, занумерованные в произвольном порядке. Мы будем рассматривать поток К как суперпозицию двух потоков R и S. Будем считать некоторое событие потока К принадлежащим потоку S, если оно наступает в один из моментов tt, tt, ..., в противном случае мы будем считать его принадлежащим потоку R. Можно убедиться (чего мы здесь делать не будем), что оба потока 5 и R— без последействия, и что они взаимно независимы (ср. работу Марчевского [5]).
Докажем в первую очередь регулярность потока R. Пусть Kt (i > 1) означает совокупность событий потока К, моменты наступления которых отличны от tt. В силу леммы 5 точка it является регулярной для потока К{, а значит и
подавно — для потока R<zKt. Но точка t, отличная от всех tt, по самому определению чисел t, регулярна для потока К, а значит и для Rc: К. Таким образом, поток R не имеет сингулярных точек и, следовательно, регулярен.
Что касается потока S, то сингулярность его очевидна из самого определения; ступенями его служат числа tt (i 5s 1). Мы покажем еще, что его характеристические вероятности (fjj соответственно совпадают с определенными в § 2 числами
Pk^i) — lim vk (*/ — h, *, + А) (А Ss 0, t'Ssl).
A-»+0
Пусть поток Kt (i ^ 1) определяется как выше, и пусть ф(р(а, Р) означает вероятность того, что в промежутке (а, Р) наступит А событий потока К{. Тогда для потока К мы, очевидно, имеем при /^1, А^О
vk(tt-A, it + A)= 2 -A, *' + h). (16)
