Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
*) Рукопись настоящей статьи А. Я- Хиичиня была обнаружена мною в бумагах автора. Она написана в 1934 г., но не была опубликована. В настоящее время эта тематика приобретает актуальный интерес.— Б. Г.
Мы допускаем, что в случае, когда вызов поступает в момент занятости провода, вызывающий (абонент или посторонний) ожидает его освобождения, после чего приступает к разговору; мы допускаем далее, что в случае скопления нескольких вызовов они обслуживаются проводом в порядке очереди; это последнее допущение, по-видимому, не оказывает никакого влияния на число потерь и среднее время ожидания и потому может быть сделано бзз всяких оговорок.
Если в момент t один из абонентов свободен, то вероятность того, что он произведет вызов до наступления момента t-\-dt, с точностью до малых высших порядков равна xdt, где к — постоянная, которая в дальнейшем должна быть определена из данных нашей задачи. Отсюда, как известно, следует, что если абонент в данный момент свободен, то вероятность того, что он не произведет вызова в течение конечного промежутка времени t, равна е~г1.
Что касается вызовов, возникающих извне, то мы, как обычно, предполагаем их режим совершенно независимым от имеющегося в данный момент состояния скученности. Как известно, это имеет своим следствием так называемый закон Пуассона: вероятность появления j вызовов в течение промежутка времени t выражается формулой
.-¦л ЫУ
е тг*
Здесь v означает (среднее) число внешних вызовов в единицу времени и, следовательно, v — 2nt.
Нам важно иметь удобное обозначение для состояния скученности в данный момент; условимся обозначать через а ожидающего абонента и через е — ожидающий внешний вызов; запись еаее будет означать, что в данный момент имеется четверо ожидающих, причем первым в очереди стоит внешний вызов, вторым — абонент, а затем — еще два внешних вызова.
Нам надо также иметь обозначение для вероятности того, что в течение данного разговора, в начале которого скученность известна, произойдут те или другие определенные вызовы; так как на число этих вызовов может оказать влияние только наличие или отсутствие в начале разговора ожидающего абонента и так как более одного ожидающего абонента, очевидно, быть не может, то все разговоры мы
должны разделить на два класса: 1) те, в начале которых нет ожидающего абонента, и 2) те, в начале которых имеется один ожидающий абонент; эти два класса мы будем различать соответственно верхними индексами 0 и 1; мы введем следующие обозначения:
— вероятность того, что в течение разговора первого класса не поступит ни одного вызова;
—вероятность того, что в течение разговора первого класса поступит один вызов абонента (и ни одного внешнего вызова);
— вероятность того, что в течение разговора первого класса поступит один вызов внешний;
— вероятность того, что в течение разговора первого класса поступит сначала вызов абонента, а затем — внешний;
vje — вероятность того, что в течение разговоров первого класса поступят те же вызовы в обратном порядке, и т. д.;
— вероятность того, что в течение разговора второго класса не поступит ни одного вызова;
v\ — вероятность того, что в течение разговора второго класса поступит один внешний вызов;
v'e — вероятность того, что в течение разговора второго класса поступят два внешних вызова, и т. д. 'Очевидно, что в течение разговора второго класса абонент вызывать не может). Все эти величины легко выражаются через дааные нашей задачи и через величину х (которую, хак уже замечено, мы впоследствии также выразим через эти данные). В самом деле, полагая для краткости
-уГ(у7У —
е -J] V,
мы, очевидно, будем иметь: х??=ат0,
©• = (1 — а)т„ v\e — xt,
г? = ССТ„ и т. д.
Несколько сложнее выражаются такие вероятности, как и v*a> однако и этот расчет не вызывает существенных затруднений. Вероятность того, что в течение данного разговора произойдет один вызов, и притом как раз в элементарный промежуток времени между t и t-\-dt (считая от
начала разговора), равна, очевидно, т, у-; вероятность того,
что абонент, свободный в начале разговора, не произведет вызова до момента /, но произведет его в промежутке между t и Т, равна
•“** [1 — •”* **¦“**],
так что
Т
X
т, (1 - а)
хТ
аналогично легко находим:
-ост,;
«!, = *» ——а).
Подобным образом могут быть вычислены и более сложные вероятности того же типа.
Наконец, мы переходим к обозначению величин, являющихся основным предметом нашего исследования. Обозначим через я, относительное число разговоров, начинающихся без ожидания, или — что то же — относительное число вызовов, застающих провод свободным. Относительное число потерь (точнее — задержанных вызовов) равно тогда 1—п„; таким образом, определение величины яв, естественно, является основной задачей нашего исследования.
